Niveau première

Suite geométriques et arithmétiques 1ereS :

Posté par Frip44 (invité) 26-04-05 à 15:08

Bonjour amis "mathiliens"...

Petit exercice sur les suites qui me pose problème à la dernière question :

On considère la suite $(U_n)$ définie par :
$U_0=0$ et $U_{n+1}=\frac {5U_n-3}{U_n+1}$

1) Calculer $U_1$ , $U_2$ , $U_3$ . En déduire que $(U_n)$ n'est ni arithmétique, ni geométrique

Je l'ai fait sans grande difficulté : après le calcul de $U_1$ , $U_2$ , $U_3$ , il suffit de dire que $\frac {U_2}{U_1}$ $\frac {U_3}{U_2}$ et que $U_2-U_1$ $U_3-U_2$
Donc $\frac {U_{n+1}}{U_n}$ est différent d'une constante et que $U_{n+1}-U_n$ est aussi différent d'une constante, donc $(U_n)$ n'est ni arithmétique, ni geométrique.

2) On considère la suite $(V_n)$ définie par $V_n= \frac {U_n-3}{U_n-1}$ .
Démontrer que $(V_n)$ est une suite géométrique et préciser le terme général pour le calcul de $V_n$ ...

Il suffit de calculer $\frac {V_{n+1}}{V_n}=\frac {1}{2}$ , et, $V_0=\frac {U_0-3}{U_0-1}=3$ ,
donc $V_n=3 \times (\frac {1}{2})^n$

3) En déduire le terme général pour le calcul de $U_n$ : C'est là que je suis perdu, je ne sais par où commencer...si vous pouviez me donner juste une piste...
Je vous remercie d'avance pour votre aide...

++
(^_^)Fripounet(^_^)

Posté par re : Suite geométriques et arithmétiques 1ereS : 26-04-05 à 15:43

Salut frip44

Bon , tu as trouvé :
$V_{n}=3\times$\frac{1}{2}$^{n}$ ( je n'ai pas vérifié tes résultats je te fais confiance )

Or , $V_{n}=\frac{U_{n}-3}{U_{n}-1}$
donc :
$\frac{U_{n}-3}{U_{n}-1}=3\times$\frac{1}{2}$^{n}$

Il ne te reste plus qu'a trafiquer un peu cette derniére égalité pour obtenir (Un) en fonction de n

Jord

Posté par Frip44 (invité)re : Suite geométriques et arithmétiques 1ereS : 26-04-05 à 15:48

c'est en fait ce que j'avais trouvé, mais là, je suis bloqué car je panique dès que je vois une inconnue en exposant...mais en tout cas c'était le bon raisonnement, je vais essayer de finir ça...

Merci beaucoup Nightmare !!

++
(^_^)Frip'

Posté par re : Suite geométriques et arithmétiques 1ereS : 26-04-05 à 15:50

De rien

N'hésites pas à demander si tu n'y arrives pas

Jord

Posté par Frip44 (invité)re : Suite geométriques et arithmétiques 1ereS : 26-04-05 à 16:02

Voilà ce que je viens de faire, je ne sais pas si c'est juste :

$\frac {U_n-3}{U_n-1}=3 \times (\frac {1}{2})^n$
<=> $\frac {U_n-3}{3U_n-3}=(\frac {1}{2})^n$
<=> $\frac {\frac {1}{3}U_n-1}{U_n-1}=(\frac {1}{2})^n$
<=> $\frac {1}{3}U_n-1={(\frac {1}{2})^n} \times ({U_n-1})$
<=> $\frac {1}{3}U_n-1=(\frac {1}{2})^nU_n -(\frac {1}{2})^n$
<=> $\frac {1}{3}U_n-(\frac {1}{2})^nU_n =1-(\frac {1}{2})^n$
<=> $U_n(\frac {1}{3}-(\frac {1}{2})^n) =1-(\frac {1}{2})^n$
<=> $U_n$ =...

Est-ce bon ??

En tout cas, merci pour ta patience Nightmare !!!

++
(^_^)Frip'

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