d'après la definition des suites arithmetiques et geometriques,on a :
pour n<=12: Un+1=Un+r
pour n>12: Un+1=qUn

d'ou U11=U10+r (U11= 11+r)
     U12=U11+r et tu remplaces ce qui donne:
U12 = 11 + 2r
Puis U13 = q * U12 = q * (11 + 2r)= 11q + 2rq
Or rq=6  donc U13=11q + 12 =56
On en deduit 11q=56-12=44
q = 4 et comme r*q=6  
r = 3/2
il faut verfifier si ça marche après(je l'ai verifié)

U12 = 11 + 2*(3/2)=14

pour n<=12, c la somme d'une suite arithmetique:
Sn=(n+1)((U0+Un)/2)
ici, n = 12 et on deduit Uo du terme genral de la suite qui est
Un = Uo + n*r
U12 = U0 + 12*(3/2)
Uo = 14 - 18 = -4
Un = 14
Sn= 13*((-4 + 14)/2)= 13*5=65

pour n>12 c la somme d'une suite geometrique de la forme
Sn=Uo*[(1-q puissance(n+1))/(1-q))]
n=8
q= 4
Uo=U13=qU12=4*14=56
Sn=56[((1-4puissance9)/-3))
je suis pas sure pour cette derniere mais j'ai pas le temps maintenant

je me suis un peu emmelé a la fin:
en fait j'ai pris Uo = U13 donc n=7
et Sn = 56 [(1 - 4 puissance 8 )/(1-4)]=1223320
voila,pour repondre au probleme il faut faire la somme des deux