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Suite périodique

Posté par
alexhdmt
22-02-23 à 14:27

Bonjour,
"u est la suite définie par u_{0}=0 et pour tout nombre entier naturel n, u_{n+1}=-\frac{3}{2}u_{n}²+\frac{5}{2}u_{n}+1
.
a) Afficher les vingt premiers termes de la suite u à l'aide du tableur. Formuler une conjecture.
b) f est la fonction définie sur par:
f(x)=-\frac{3}{2}x²+\frac{5}{2}x+1
Dans un  repère, construire la courbe représentative de f sur l'intervalle [0;2].
c) Démontrer la conjecture précédente.
d) Quelle est la valeur de u2015?"

a) J'ai conjecturé que cette suite se répétait sur 3 termes.
b) J'ai construit une courbe avec f(0)=1, f(1)=2 et f(2)=0.
c) Je bloque à cette question, car de ce que j'ai vu je dois démontrer que un= un+3.
J'ai donc commencé par calculer un+2 mais le calcul me parait très complexe et je me retrouve avec des puissances quatre et trois. Et je m'étonne de la question b) car je ne vois pas à quoi elle sert. Il y a-t-il une manière plus simple de démontrer ma conjecture à la question a)?
Merci pour votre aide!

Posté par
carpediem
re : Suite périodique 22-02-23 à 14:39

salut

penses-tu que trois points suffisent pour construire une courbe ?

effectivement je ne vois pas en quoi tracer la courbe aide ... si ce n'est à représenter les termes de la suite

tu remarques donc que u_{n + 1} = f(u_n)

effectivement c'est fastidieux

f(x) = ...

je t'invite alors à calculer f[f(x)] puis f[f[f(x)]] ... et c'est long ...

il y a peut-être plus simple avec la forme canonique de f ... ou une expression plus sympa de f(x) ...

Posté par
alexhdmt
re : Suite périodique 22-02-23 à 15:27

on m'a toujours demandé de construire une courbe en donnant des points de repère, comment puis-je faire autrement?

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Suite périodique 22-02-23 à 15:54

Bonjour,
Je réponds en l'absence de carpediem qui pourra intervenir à nouveau quand il reviendra.
Pour construire une courbe, il faut quelques points.
Trois suffisent rarement pour un résultat satisfaisant.
Dans la cas présent, il s'agit d'une parabole. Il faut au moins s'intéresser à son sommet.
Comme vous, je ne vois pas l'intérêt de construire cette courbe.

Pour ce qui est de la conjecture sur la périodicité, exploiter f(0)=1, f(1)=2 et f(2)=0 suffit sans doute.

Posté par
alexhdmt
re : Suite périodique 22-02-23 à 16:08

J'ai trouvé la forme canonique de f donc je peux tracer cette parabole en donnant son sommet. ET pour la périodicité que veut dire exploiter les résultats trouvés à la question b)?

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Suite périodique 22-02-23 à 17:33

Ça veut dire les utiliser.
Que dire de un+3 si un = 0 ?

Je ne vais plus être disponible ; mais carpediem ou un autre aidant va sans doute revenir.

Posté par
carpediem
re : Suite périodique 22-02-23 à 18:43

alexhdmt @ 22-02-2023 à 16:08

J'ai trouvé la forme canonique de f
dommage de ne pas nous la donner ...

heureusement ggb is my friend !!

f(x)=\dfrac {49} {24} - \dfrac 3 2 \left( x - \dfrac 5 6 \right) ^2


f[f(x)] = \dfrac {49} {24} - \dfrac 3 2 \left( \dfrac{49}{24} - \dfrac 3 2 \left( x - \dfrac5 6 \right)^2 - \dfrac 5 6 \right) ^2 = \dfrac {49} {24} - \dfrac 3 2 \left( \dfrac{29}{24} - \dfrac 3 2 \left( x - \dfrac5 6 \right)^2 \right) ^2 = \dfrac {49} {24} - \dfrac 3 {2 \times 24^2} \left( 29 - 36 \left( x - \dfrac5 6 \right)^2 \right) ^2

ouais c'est pénible ...

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Suite périodique 22-02-23 à 19:07

Et ça ne me semble pas utile.
Calculer f[f[f(0)]], f[f[f(1)]] et f[f[f(2)]] directement me semble plus intéressant et ... moins pénible

Posté par
carpediem
re : Suite périodique 22-02-23 à 19:42

j'y avais pensé : faire une récurrence ... sans le dire !!!

Posté par
alexhdmt
re : Suite périodique 23-02-23 à 18:00

Si un=0 alors un+3=0

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Suite périodique 23-02-23 à 20:50

Oui.
Et si un = 1 ou un = 2 ?



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