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Suites 1ere S
Salut a tous , voila la seconde partie d'un exo me pose probleme , et je souhaite reelment reussir cet exo ! Voila l'enoncé :
On considere la suite definie par :
U0= 0.5 et Un+1 = (Un)+1
Que peut on dire de cette suite ? donne la representation graphique en chemin de (Un). Exprimer Un en fonction de n . Quel est le sens de variation de (Un) ?
3: On suppose que a diferent de 1. (Un) est definie par son premier terme U0 et Un+1 = aUn + b
a: Monter que l'équation f(x)=x a une unique solution Alpha
b: On pose Vn= Un- alpha . Montrer que la suite (Vn) est une suite géometrique.
C: Exprimer Vn, puis Un en fonction de n
Merci beaucoup de votre aide
salut
on a U(n+1)-U(n)=1 donc c'est une suite arithmetique de raison 1.
U(n)=U(0) + n*1 = 0,5 + n pour tout n dans N.
U(n+1)U(n)=1>=0 consequence : la suite U est croissante.
je suppose que f est definie par f(x)=a*x+b.
on resouds a*x+b=x
donc x*(a-1)=-b
si a different de 1 (non precise) on a x=b/(1-a)
donc alpha=b/(1-a)
si a= 1 et b different de 0 pas de solution.
si a=1 et b=0 les solutions sont R tout entier.
ces deux derniers cas sont bien entendu a mettre en parenthese si l'enonce dit a different de 1.
b)V(n)=U(n)-alpha
on calcule V(n+1)/V(n) (on pourra neanmoins voir le cas si il existe n dans N tel que V(n)=0)
V(n+1)=U(n+1)-alpha=aU(n)+b-alpha
or alpha est tel que a*alpha+b=alpha
donc V(n+1)=a*U(n)+b-a*alpha-b=a*U(n)-a*alpha=a*[U(n)-alpha]=a*V(n)
donc V(n+1)/V(n)=a
donc V est geometrique de raison a.
donc V(n)=V(0)*a^n=[U(0)-alpha]*a^n
et donc comme V(n)=U(n)-alpha on a U(n)=[U(0)-alpha]*a^n + alpha
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