Soit la suite (U_n) definie par :
Uo=0,5 et U_n+1= (5U_n+4)/(U_n+2)

1) Determiner la fonction f telle que U_n+1=f (U_n). Monter que l'equation f(x) = x a deux solutions et (avec > )
2) On pose Vn = (Un -4) / (Un+1). Demontrer que la suite (Vn) est une suite geometrique dont on precisera la raison et le premier terme Vo
3) Exprimer Vn en fonction de n, puis Un en fonction de n.

Mes réponses
1) f(x)= (5x+4)/(x+2), on pose U_n=x et f(x)= U_n+1
f(x)=x <=>(5x+4)/(x+2) = x <=>[(5x+4)-x(x+2)]/(x+2) = 0 <=> (5x+4-x²-2x) / (x+2)=0 <=> (x² -3x -4)/ (x+2) = 0

x²-3x-4=0 d'où 2 solutions =-1 et =4  avec   >

2)  pour prouver que Vn est une suite géométrique il faut déterminer q tel qu V_n+1/V_n =q

Soit V_n+1= (U_n+1-4) /U_n+1 +1), on prend U_n+1 de l'énoncé on obtient donc V_n+1= [(5Un+4)/(Un+2) -4] /[(5Un+4)/(Un+2) +1]
= (U_n-4) /6(U_n+1)
Soit V_n =(U_n-4)/(U_n+1)

Donc q = [(U_n-4) /6(U_n+1)]/ [(U_n-4)/(U_n+1)] =
[(0.5-4) / 6(0 ,5+2)]/ [(0,5-4)/(0,5+1)] = (7/18) / (-7/3)= 1/6

q est la raison géométrique de la suite V_n on en conclut que la suite V_n est géométrique et on peut écrire que V_n+1=(1/6)*V_n

On a V_o = (U_o-4) / (U_o+1) = (0,5-4) / (0,5 +1) = -7/3

3) Comme V_o=(U_o-4)/(U_o+1) alors Vn=(U_o-4)/(U_o+1)*(1/6)ⁿ
Comme Vn=(U_n-4)/(U_n+1) soit _Un=(4+V_o*(1/6)ⁿ)/(1-V_o*(1/6)ⁿ)

Je ne suis pas sur pour la 3.SVP dites moi