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suites

Posté par Mag (invité) 06-01-06 à 22:10

Bonjour

J'ai un petit probleme pour résoudre une question d'un exercice, je ne vois pas du tout comment faire.

Soit(Un) une suite décroissante de réels positifs et (Vn) la suite définie sur par: Vn= 2Un/Un+1
Etudier les variations de (Vn)

Pouvez vous m'éclairé?

Posté par
minkus Posteur d'énigmesre : suites 06-01-06 à 22:15

Bonsoir,

As-tu essaye la methode classique : calculer Vn+1 - Vn et etudier le signe ?

Posté par Mag (invité)re : suites 06-01-06 à 22:16

Oui j'ai essayer et justemen sa ne me donne rien

Posté par
minkus Posteur d'énigmesre : suites 06-01-06 à 22:24

question :

le denominateur c'est U(n+1) ou bien Un + 1  ??

Posté par Mag (invité)re : suites 07-01-06 à 09:15

c'est Un + 1

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : suites 07-01-06 à 10:45

Bonjour,

V_n=2-\frac{2}{U_n+1}
Comme (U_n)_n est une suite positive décroissante, on en déduit que (V_n)_n...

Nicolas

Posté par Mag (invité)re : suites 07-01-06 à 18:17

Nicolas, je n'ai pas compris ton explication

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : suites 08-01-06 à 04:03

On remarque que :
V_n=\frac{2U_n}{U_n+1}=2-\frac{2}{U_n+1}

(U_n)_{n\in\mathbb{N}} est une suite décroissante positive
(U_n+1)_{n\in\mathbb{N}} est une suite décroissante positive
(\frac{1}{U_n+1})_{n\in\mathbb{N}} est une suite croissante
(-\frac{2}{U_n+1})_{n\in\mathbb{N}} est une suite décroissante
(2-\frac{2}{U_n+1})_{n\in\mathbb{N}} est une suite décroissante
(V_n)_{n\in\mathbb{N}} est une suite décroissante

Autre méthode :
V_{n+1}-V_n=\frac{2U_{n+1}}{U_{n+1}+1}-\frac{2U_n}{U_n+1}
= ... = \frac{2(U_{n+1}-U_n)}{(U_{n+1}+1)(U_n+1)} \le 0
car le numérateur est négatif ((U_n)_{n\in\mathbb{N}} décroissante) et le dénominateur positif ((U_n)_{n\in\mathbb{N}} positive)

Nicolas


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