Bonsoir Malily2

1.
f'(x)=-2/(x+2)^2 (utilise la formule de la derivee dun quotient)
et f'(x)<0 car (x+2)^2 est tjs >0
donc f est decroissante strictement mm

2.a.
-1/2<x<1/2 => -1/2<-x<1/2
et -1/2<x<1/2 => 3/2<x+2<5/2 => 2/5<1/(x+2)<2/3
et en multipliant les 2 inégalite( n oublie pas qu on ne peu pas diviser terme à terme quand on a des inégalites mais on peu les multiplier), on a
-1/5<f(x)<1/3 et comme -1/2<-1/5 et 1/3<1/2 on a le resultat

2.b.
on a Vn+1=f(Vn)
Pour montrer que Vn est minorée par -1/2 on peut montrer que Vn+1 -(-1/2) est positif( ou Vn c'est pareil) et que Vn+1 -1/2<0 si on veut montrer que Vn est majorée par 1/2.
On a: Vn+1 + 1/2=f(vn)+1/2
Or V1=-1/2 et d'apre 2a pour -1/2<x<1/2 on a -1/2<f(x)<1/2 donc f(Vn)+1/2>0 et de meme f(Vn)-1/2<0 (pour que le 2a marche il faut que tu sois dans l'intervalle indiqué et c est la cas car V1=-1/2)

3.
Si Vn>0 alor Vn+1=-Vn/(Vn+2) est negatif et Vn+2 est positif car Vn+1<0 et Vn+1 +2>0 car a partir d'un ceertain rang Vn est dans l'intervalle -1/2, 1/2(cf question precedente)
donc pour 2 terme consecutif on a un changement de signe.
Pour montrer que les terme d'ordre pair sont positif et les termes impaires negatif, tu peu faire une recurrence en utilisant V0=2>0 (pair) et V1=-1/2<1 (impair)

4.
Tu peu faire une recurrence avec Hn:"Pn decroissante et In croissante"
V2=5/2<V0
V3=-1/11>V1 donc propriete vrai au rang initial
Pour l'heredite tu fais Pn+1-Pn=V(2n+2)-V2n de meme ave In et tu utilisera le fait que la propriete est vrai jusqu'au rang n cad que Pn est decroissante jusqu au rang n et In croissante.

5.a.
Tu peux refaire une recurrence (et oui encore^^).
Oups j'ai plus le temps je dois y aller mais je te poste quand meme cette partie pour que t'avance un peu dans ton exo^^.

rebonsoir
fausse alerte dsl

Alor pour le 5a, on a :
initialisation: |V1|<2/3*V0 car |V1|=1/2
heredite: tu suppose le resultat vrai jusqu'au rang n
et on va montrer que |Vn+2|/|Vn+1|<2/3.
|Vn+2|/|Vn+1|=1/|Vn+1 +2|
Or |Vn+1|<1/2 donc |Vn+1 +2|<|Vn+1|+|2| <2+1/2(inégalité triangulaire et hypothese de recurrence)
et donc |Vn+2|/|Vn+1|<1/(3/2) cad 2/3
d'ou le resultat avec le theoreme de recurrence.
En ecrivant l'inegalité |Vn|<2/3*|Vn-1| en faisant tomber les indices cad |vn-1|<2/3*|Vn-2| etc... et que tu les multiplient tous tu trouveras la formule qui t'est demandé parce qu'on a n inégalité a multiplier entre elles et que V0=2.

5.b.
(2/3)^n0.001 <=> n*ln(2/3)ln 0.001
dou n7.3 donc tu prend n=7 car n est un entier.

Voila!
j espere que ca va t'aider et que tu vas comprendre ce que j'ai ecrit ( je suis pas toujours assez clair et je fais beaucoup de fautes d'orthographes :p)
Bon courage!

Joelz

Je vais essayer de le faire et je te recontacte demain pour te donner des nouvelles
merci pour ton aide !

re bonjour!
j'ai un probleme au niveau de la question 5...
ds les 2 sous questions je n'arrive pas a comprendre votre démarche
pourriez vous me l'expliquer avec plus de précision ?
Merci

svp???

reBonjour
(tu peu me tutoyer)
Pour le 5a tu fais une recurrence et tu prend comme propriete ce que tu veux demontrer.
Pour ca, tu montres deja que c'est vrai pour le rang n=0 cad |V1|<(2/3)|V0| ce qui est vrai.
Ensuite tu suppose que c'est vrai jusqu'au rang n cad que |Vn+1|<(2/3)|Vn| et tu vas montrer que c'est vrai pour le rang n+1 cad qu'on doit montrer que |Vn+2|<(2/3)|Vn+1|.
Pour ca, il est plus simple de montrer que |Vn+2|/|Vn+1|<2/3 (tu fai passer Vn+1 de l'autre cote).
Comme |Vn+2|=|Vn+1|/|2+Vn+1| d'ou |Vn+2|/|Vn+1|=1/|2+Vn+1|
Or tu sais que (cf question precedentes) -1/2<vn<1/2, qui s'ecrit aussi |Vn+1|<1/2
et |2+Vn+1|<|2|+|Vn+1| d'apres l'inégalité triangulaire
donc |2+Vn+1|<2+1/2 donc |Vn+2|/|Vn+1|=1/|2+Vn+1|<1/(2+1/2)
soit |Vn+2|/|Vn+1|=<2/3

Et donc ici on a montrer que si on supposait le resultat vrai jusqu'au rang n, le resultat reste vrai pour le rang n+1 d'ou d'apre le theoreme de reccurence, la propriete est vraie (enfin propriete ca s'appelle peut etre aussi formule de recurrence ou quelque chose comme ca)

Maintenant que ton resultat est vrai pour tout n, tu peu ecrire:
|V1|<(2/3)|V0| pour n=0
|V2|<(2/3)|V1| pour n=1
|V3|<(2/3)|V2| pour n=2
etc...
|Vn-1|<(2/3)|Vn-2| pour n-2
|Vn|<(2/3)|Vn-1| pour le rang n-1
------------------- (en multipliant toute les inégalités entre elles)
|V1*V2*...*Vn|<(2/3)^n *|V0*V1*...*Vn-1|
(2/3)^n car en tout ta n inégalité que tu multiplie terme a terme
et tu vois que de chaque coté tu peu simplifier par |V0*V1*...*Vn-1|
d'ou il va rester |Vn|<(2/3)^n

5b
Quand tu cherche n tel que (2/3)^n0.001, il faut que tu l'isole et pour ca tu prend ln de chaque pour faire apparaitre ton n "devant" ou en dehors de la puissance.
On a en prenant le ln de chaque coté:
n*ln(2/3)ln(0.001)
donc nln(0.001)/ln(2/3) car ln(2/3)<0
donc a la calculette tu trouves n17.0366
et comme n est un entier tu prend n=18

(en plus je viens de me rendre compte que j'ai fait une petite erreur la derniere fois sur le fait que je divisait par quelque chose de négatif et donc que ca changeait le sens de l'inégalité oups dsl )

Voila j'espere que je t'ai eclairci
Bon courage!

Joelz

ah oui c beaucoup plus clair et je ten remercie !!!
je voudrai juste te poser encore une question a la 5) b : pourquoi le fait de multiplier par In ca fait apparaitre le n devant?

Salut

Dans ton cours tu as une formule surles fonctions ln
ln(x^n)=n*ln(x) c'est dans ton cours
Et donc ici comme ta un n en exposant il fallait le faire "descendre" et pour ca tu prend le ln de chaque coté et ca te permet de l'isoler  et d'en tirer ce qu'on veut.

Voila

Joelz

daccord merci
je vais regarder tt ca et je te recontacte plutard!
tchao