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Suites
Bonjour,
Je bloque sur un exercice et j'ai vraiment besoin d'aide s'il vous plait.
Voici l'énoncé:
Un club de sport propose deux types d'abonnements non permutables.
Formule A:une cotisation annuelle de 100 Euros à laquelle s'ajoute la première année seulement un droit d'entrée de 2000 Euros.
Formule B:une cotisation annuelle de 200 Euros la première année qui augmente de 10% par an.Dès la seconde année, pour fidéliser la clientèle on effectue une réduction de 10 Euros sur la cotisation annuelle.On note Cn le montant en euros de la cotisation annuelle la n-ième année dans cette formule.Donc C1 =200 et pour tout entier n inférieur ou égal à 1, Cn+1 = 1,1Cn-10.
On pose Dn = Cn -100.
Démontrer que la suite (Dn) est géomètrique de raison 1,1.
En déduire l'expression de Dn, puis de Cn en fonction de n.
Merci beaucoup à ceux qui m'aideront et qui liront.
Bonjour,
a) exprime D(n+1) en fonction de C(n+1)
b) exprime D(n+1) en fonction de C(n)
c) exprime D(n+1) en fonction de D(n)
d) Conclus
Nicolas
tout d'abord merci de m'avoir répondu et de bien vouloir m'aider!
Cependant je n'ai pas compris.
Comment dois-je fair pour démontrer que la suite est géomètrique?(la première question)
Bonjour,
je te fais le début d'abord :
Dn=Cn-100
D(n+1)=C(n+1)-100 MAIS C(n+1)=1.1Cn-10
Donc D(n+1)=1.1Cn-10-100=1.1Cn-110=1.1(Cn-100)
D(n+1)/Dn=1.1(Cn-100)/(Cn-100)=1.1--->suite géo de raison 1.1.
A+
Ensuite tu appliques la formule :
Dn=D1*r^(n-1) en sachant que D1=C1-100
Et comme Cn=Dn+100, la suite est facile.
A+
Merci beaucoup j'ai bien compris la première question mais je n'ai pas compris le raisonnement de la deuxième..pouvez vous m'expliquer s'il vous plait?
Comme Dn=Cn-100 (1) alors :
D1=C1-100 mais C1=200 (voir énoncé) donc :
D1=200-100=100
On a vu que :
Dn=D1*r^(n-1)
donc Dn=100*1.1^(n-1) (2) car r=1.1
D'après (1) :
Cn=Dn+100
Donc d'après (2) :
Cn=100*1.1^(n-1)+100
ou Cn=100[1.1^(n-1) + 1]
..sauf inattention...
A+
Merci beaucoup car j'ai réussi à comprendre le raisonnement ce qui est le plus important!
Il y a encore une dernière question:
On note Sn la somme versée au club de sport par un membre ayant choisi la formle B pendant n années.
Démontrer que Sn = 1000[(1,1)^n-1]+100n.
Je dois faire la même chose que la question précédente en exprimant la fonction par n?
Un peu compliqué!!
Sn=C1+C2+C3+....+Cn
mais Cn=Dn+100 (Donc C1=D1+100, etc.)
Donc Sn=D1+100+D2+100+D3+100+...+Dn+100(le 100 est répété n fois : OK?)
Sn=D1+D2+D3+..+Dn+100n
Il suffit de calculer D1+D2+...+Dn
Or Dn est une suite géométrique de raison 1.1
et il existe une formule du cours qui donne la somme de n termes consécutifs d'une suite géométrique :
Somme=1er terme * (r^n - 1)/(r - 1) avec 1er terme : D1=C1-100=200-100=100
Donc somme des Dn=100*(1.1^n - 1)/(1.1-1)
somme des Dn=100*(1.1^n - 1)/0.1=1000(1.1^n - 1)
Donc somme des Cn= Sn=1000(1.1^n - 1)+100n
A+
"Comment dois-je faire pour démontrer que la suite est géométrique ? (la première question)"
C'est justement ce que mon message te proposait de faire, en décomposant la question...
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