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Suites
Bonjour j'ai besoin de votre aide svp
Exercice:
Soit Un la suite de terme général :
(L'expression comporte n radicaux.)
a) Calculer U1 , U2 , U3.
b) Conjecturer une expression de Un en fonction de Un-1.
c) En deduire le sens de variation de cette suite.
Réponses :
a) U1=
1=1
U2=2
U3=(1+2)
b)
Le dénominatileur est positif mais le numérateur
Sur [0 ; +
[
Sur ]0 ; (1+√5)/2] , U{n-1}>0
Et sur [(1+√5)/2 ; + [ U_{n-1}<0
oui tu as raison, ça n'est pas si simple.
vu la représentation graphique, il faut commencer par montrer que les Un restent compris entre 1 et
a = (1+√5)/2
on sait que a est la racine de -x²+x+1 = 0 donc que a = (1+a)
donc par récurrence il est facile de montrer l'hérédité en faisant :
Un-a = (Un-1+1)- ( a+1) =(Un-1-a)/ .... qui montre que si Un-1 < a alors Un l'est aussi
et du coup maintenant tu peux trancher sur le signe de
a est la solution positive de l'équation -x²+x+1 = 0 l'intersection de la courbe avec la droite y=x, c'est la relation de récurrence Un=(1+Un-1) quand on la passe à la limite a = (1+a)
et comme tu l'as très bien trouvé, a = (1+√5)/2
Quand tu as essayé d'étudier le signe de Un-Un-1 tu es tombé sur un numérateur égal à
tu as étudié le signe du polynôme 1 + x -x² et tu as trouvé son signe en fonction de x.
si on arrive à montrer qu'en fait x est toujours compris dans l'intervalle ]0 ; (1+√5)/2] alors on pourra conclure que Un-Un-1 est toujours positif et donc la suite croissante.
Pour cela on étudie (1+√5)/2 - Un et on démontre par récurrence que c'est toujours positif (voir 27-04-20 à 17:43)
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