les questions 4b et 4c sont très liées
si on sait la faire avec n = 20 (sans dessiner explicitement l'arbre bien sur !)
on sait le faire avec n quelconque et vice versa.

sur un grand arbre, sa hauteur totale sera une alternance de cotés et de diagonales
cette alternance implique qu'il faudra traiter différemment le cas n pair du cas n impair

pour la 4b, ça tombe bien, 20 est pair et il y a autant de cotés que de diagonales
tu peux donc facilement généraliser le h4 = c1 + c1 + c2 + c2 = 2(c1 + c2) que tu as trouvé
h20 = 2(c1+c2+ c3 + ... + c??)

et comme on connait la formule générale des c_n ...

j'avais appelé  h1  : la hauteur à l'étape 1
puis h2 : la hauteur  ajoutée à l'étape 2
h3 :la hauteur ajoutée à l'étape 3
donc h1 + h2 + h3 + h4  est bien la hauteur de l'arbre à l'issue de la 4ème étape.
C'est bien ça que tu avais fait n'est ce pas ?

pour la hauteur totale à l'issue de l'étape 20,
tu peux étendre ton raisonnement appliqué précedemment.
h1 + h2 + h3 + h4  +............. + h19 + h20  =
c1 + c1  +  c3  +  c3   + .......      c19 + c19  =
2 (  ????? )
par quelles valeurs peux tu remplacer c1, c3, etc....
qu'est ce que tu reconnais à l'intérieur des parenthèses ?

mathafou
tu écris
h4 = c1 + c1 + c2 + c2 = 2(c1 + c2) que tu as trouvé
mais c'est plutôt   c1 + c1  + c3 + c3  je crois.

OK Leile je te laisse poursuivre, avec tes notations

(en plus j'ai écrit une bêtise dans mon dernier message
c'est bien hauteur totale de l'arbre 4 = c1 + c1 + c3 + c3 = 2(c1 + c3)
(et il faudra bien lui donner un nom, autre que h alors, à cette hauteur totale, vu que c'est ça qu'on demande)

Ok merci beaucoup, je regarde et essaye de comprendre  dans la soirée, ou au plus tard demain
Pour la hauteur à l'étape 20, un shema m'aiderait à comprendre ? Car là je suis un peu perdue
Bonne soirée 🙂

Je lis qu'il y a une alternance carré et diagonale, mais les carrés sont de plus en plus petit à chaque étape, enfin bon j'espère qu'une fois concentré ça sera plus clair pour moi
Encore merci

Yasmin45, cette fois encore, tu ne lis pas bien ce que je t'écris...


pour la hauteur totale à l'issue de l'étape 20,
tu peux étendre ton raisonnement appliqué précedemment.
h1 + h2 + h3 + h4  +............. + h19 + h20  =
c1 + c1  +  c3  +  c3   + .......      c19 + c19  =  2 (  ????? )
par quelles valeurs peux tu remplacer c1, c3, etc....
(vois les questions précedentes)
qu'est ce que tu reconnais à l'intérieur des parenthèses ?

Si, je lis, simplement j'ai du mal à comprendre, j'ai libéré ma soirée je vais travailler dessus tout de suite et vous redis J'espere  arriver à mieux comprendre...

je n'étais pas sûre que tu avais lu mon message, car tu parlais d'alterner les cotés et les diagonales, suite au message de mathafou.
Mais tu as vu que pour calculer la hauteur totale à l'étape 4, on n'a pas alterné des choses compliquées, on a écrit c1 + c1 + c3 + c3
donc, finalement, uniquement des longueurs de cotés (ceux de  numeros impairs.)

tu as vu comment on calcule la hauteur après l'étape 4, il faut juste faire la meme chose pour aller à l'issue de l'étape 20, donc aller un petit peu plus loin..
je t'ai donné le début, lance toi !!

J'ai tenté quelque chose mais je ne suis vraiment pas certaine:

est ce 2(C1+C3+C5+C7+C9+C11+C13+C15+C17+C19) ??

  je vais calculer pour voir si c'est cohérent mais j'ai de gros doutes🙁

je trouve 3.99609375, ca me parait cohérent, environ 3.9 , vu la question d

oui, c'est ça !
je te l'avais déjà écrit à 18:38   et à  19:50    ....  

mais au lieu de te lancer dans un grand calcul, réponds à ma question :
h1 + h2 + h3 + h4  +............. + h19 + h20  =
c1 + c1  +  c3  +  c3   + .......      c19 + c19  =  2 (  ????? )
par quelles valeurs peux tu remplacer c1, c3, etc....
(vois les questions précedentes)
qu'est ce que tu reconnais à l'intérieur des parenthèses ?

Que voulez vous dire par "ce que je reconnais à l'interieur des parenthèses" ?
C1=1 C3=0.5 etc..  Mon calcul ainsi fait n'est il pas correct?

si, si, ton calcule est juste.
Je veux te guider pour donner une expression générale :
2(c1   +  c3  + c5 + c7 +..........     c19)  =
2 (1    + 1/2   + 1/4   + 1/2^3  + ..........  +   1/2^9)

à l'intérieur des parenthèses, on reconnait une somme des 10 premiers éléments d'une suite géométrique de raison 1/2  et de premier terme U0=1..
C'est le moment de sortir ta fameuse formule, dont tu me parlais hier !
  

Génial ! il ne reste plus que 2 questions,
"Exprimer en fonction de n, la hauteur de l'arbre à l'étape n

Hn= 2*CN-1 ??
comme on prend le nombre impair, c'est en fait Cn-1 non?

Cependant dans cette formule, on ne prend pas en compte les "n impairs" précédents c'est incohérent..

Je n'avais pas  vu votre message de 22:02, je regarde comment je peux agencer cela Merci!

Pouvez vous m'aiguiller s''il vous plait sur la marche à suivre, Faut il utiliser la formule de la somme ou plutôt la formule qui permet de trouver la forme explicite d'une suite géométrique ?

Car q=0.5 et U0=1  on à donc Un=U0*q^n ?

"on reconnait une somme des 10 premiers éléments d'une suite géométrique de raison 1/2  et de premier terme U0=1.."

c'est la formule de la somme !  

D'accord, merci, alors est ce Hn=(1-0.5^n+1)/(1-0.5) ?
J'essaye avec de grandes valeurs pour voir si c'est cohérent avec la question d

oui, la formule de la somme entre parenthèses est
(1  -     (1/2)^10  )  / (1/2)
(pourquoi écris tu n+1 ?)  
ainsi la hauteur pour 20 étapes =  

tu remarques que à l'étape 20, la puissance appliquée vaut 10 (la moitié). Normal, puisqu'on n'a pris que les cotés de rang impair, donc un sur deux.
donc si on généralise  avec n (le numero de l'étape), alors on écrira :
hauteur de l'arbre à l'issue de l'étape n :


tu vois ?
alors ça marche très bien  quand n est pair..   mais quand il est impair ? que faire ?   tu as une idée ?
et à partir de maintenant, sauras répondre à la toute dernière question ?

Ahh oui c'est encore plus clair pour moi ainsi !
Lorsque les sont impairs, ne faudrait il pas retirer 1 à la puissance de la formule ?

Pour la dernière question il faut faire « des tests »? Par exemple avec un très grand « n »

lorsque n est impair, oui, tu pourrais écrire  (n-1)/2, mais dans ce cas, il manquera quelque chose.
Exemple   n=5    alors   (n-1)/2  =   4/2 = 2  
la formule calcule la somme des hauteurs jusque la 4ème étape. Il faut donc ajouter c5    

pour la dernière question, oui, tu peux faire des essais..
que penses tu de    1/2^(n /2)   quand n est très grand ?
Donc finalement, qu'est ce qui se passe   ???

je stoppe pour ce soir.
A demain soir pour terminer, d'accord ?

Je n'ai  pas compris à quel endroit il fallait ajouter C5

« Donc finalement, qu'est ce qui se passe   ??? » je crois que effectivement ça ne dépasse pas 4, à un certain stade ça va « redescendre » la hauteur sera plus petite peut être même négative.. À voir ..

De même pour moi à demain

Bonjour,

Ma professeur a mis des indications supplémentaires pour le dm.:

« si vous avez déjà répodu à la question 3 en prenant a(n) comme l'aire d'un carré, je m'adapterai.
sinon question 3 :
a(n) est l'aire totale des nouveaux carrés obtenus à l'étape n. »

Ici encore je trouve qu'il y a une ambiguïté, l'aide totale à l'issu de l'étape ou Ajouté pour avoir l'étape n…

Elle nous demande aussi:Combien de carrés noirs au total à l'étape 20 ? Combien au total à l'étape n ? 

Pour cette question, j'avais pensé à ceci:

Étape 1 =1
Étape 2=3.        On a U0=1
Étape 3=7

Mais la raison je ne sais pas on dirait qu'il y a *2+1

Sinon
Étape 1:1
Étape 2:2
Étape 3:4.
Ici U0=1 et q=2. Un+1=Un*q
                          Et Un=U0*q^n=1*2^n ?

Pour ce que vous m'aviez mis pour la question d,
Par exemple (1/2)^500/2=5.5*10^-76

Donc finalement ça ne continue pas de augmenter sa rétréci jusqu'à devenir négatif

Pour la question c)

Je n'ai pas bien compris finalement comment exprimer en fonction de N la hauteur de l'arbre à l'étape N quand n est impair
🙂

bonjour Yasmin45,

question d) : reviens au sujet  
on ajoute des carrés à chaque étape : penses tu vraiment que la hauteur peut diminuer, puis devenir négative ?
hauteur totale =  
la fraction est de plus en plus petite si n augmente..
je te donne 4 euros, auxquels j'enlève une toute petite partie.
Peux tu avoir plus que 4 euros ?
à chaque fois que je recommence,  j'enlève une partie de plus en plus petite : y a-t-il une fois où tu auras plus que 4 euros ?
Est il possible que ce que je te donne à chaque fois repasse à 3 euros, 2 euros ou moins ?
donc la hauteur totale peut-elle etre supérieure à 4 unités ? Et penses tu que cette hauteur va diminuer à nouveau pour repasser à 3 u, 2u ou moins ?

pour  les an :

le 9/02  à 21:36, j'avais résumé ainsi :

an = 1 /  2^(n-1)    qui est égal  à cn ²  ==>  on a donc considéré que an était l'aire d'un carré à chaque étape.
somme des an   à chaque étape =  1 u²    (  au départ on parle d'unité  que je note  u)   ===>   on a écrit que le total des aires des carrés à chaque étape vaut 1u².
somme des an  à l'issue de l'étape 20  =  20u²
==>  là, on donne l'aire de   tous les carrés  à l'issue de l'étape 20
somme des an à l'issue de l'étape n   =  n  u²
==>  là on donne l'aire de tous les carrés à l'issue de l'étape n.


c'est clair pour toi ?

Merci de votre explication,
Non, je pense que la hauteur va rester la même mais comment expliquer cela mathématiquement

Pour l'es An oui merci bcp c'est plus clair !!

Combien de carrés noirs au total à l'étape 20 ? Combien au total à l'étape n ?
Avez vous vu mes tentatives pour répondre à cela ?

la hauteur  va etre de plus en plus haute, mais jamais supérieure à 4u.
hauteur totale =  

     tend vers 0  quand n devient très grand,
donc     tend vers 1, et
  tend vers   4    par valeurs plus petites.


nombre de carrés  au total ?
on parle de "total "  : il faut penser "somme".
examine les éléments de cette somme :
étape 1  : nb de carrés  =  1
étape 2 : nb de carrés   ajoutés  =  2  
étape 3 : nb de carrés  ajoutés  =  4
étape 4 : nb de carrés  ajoutés  =  8
reconnais une suite : 1, 2, 4, 8, etc....    :   de quelle nature ? raison ? 1er terme ?
et ensuite seulement,  reprends la formule de la somme..

Pour  n pair et impair   :

si je te dis  n=4,   tu sais appliquer la formule puisque n est pair.
n/2 =  4/2  =  2
hauteur totale =   ,
c'est simple et direct. On a bien compté la hauteur pour les 4 étapes (h1 + h2 + h3 + h4   =   c1  + c1  + c3  + c3)

à présent, je dis n=5.   Comme n est impair,  il n'est pas divisible par 2. Tu as donc proposé d'écrire  (n-1)/2, c'est une bonne idée.
(n-1)/2  =  (5-1)/2  =  2
tu appliques la formule :  .
Mais là, tu obtiens le même total que quand n=4...  
soit : c1 + c1 + c3 + c3..    il t'en manque donc un ! il te manque c5.
donc quand n est impair, la puissance est bien (n-1)/2, mais il faut ajouter c_n.    OK ?

Merci beaucoup, du coup lorsque qu'on nous demande ´ impairs ou impair, c'est clair pour moi

Pour la dernière question pour le nombre de carré 1, 2, 4, 8 sont les premiers termes consécutifs d'une suite géométrique de raison 2 et de premier terme 1 ?

Pour la dernière question pour le nombre de carré 1, 2, 4, 8 sont les premiers termes consécutifs d'une suite géométrique de raison 2 et de premier terme 1 ?

Oui, c'est ça. (pourquoi mets tu un ?? à la fin de ta phrase ?   Tu n'es pas sûre de toi ?).
alors, comment exprimes tu la somme des ces termes ?

Oui c'est que j'ai du mal à prendre de l'assurance, j'ai de bons résultats en classe mais finalement j'ai toujours un peu peur de ne pas avoir la bonne réponse
Sn=U1(1-q^n)/1-q

Ici Kn= 1(1-2^n)/1-2 mais du coup le dénominateur est négatif

Ici Kn= 1(1-2^n)/1-2 mais du coup le dénominateur est négatif
(nb : le numérateur aussi  !!  
oui, vas jusqu'au bout, et simplifie.  

Kn= 1(1-2^n)/1-2 On peut simplifier ainsi
Kn=-1^n/-1   Du coup 1^n/1 donc j'ai finalement Kn=1^n

oh Yasmin45, là tu écris n'importe quoi...  
d'abord   1^n = 1   quel que soit n..   donc ça ne peut pas etre exact.
ensuite 1  -   2^n     ne fait pas -1^n
exemple  avec n=2 :    1  -  2^2     =   1  - 4     -1^2 !

reprends..

Désolé..
« d'abord   1^n = 1   quel que soit n..   donc ça ne peut pas etre exact. »
Oui je comprend mon erreur c'était idiot..

Kn= 1(1-2^n)/1-2= (1-2^n)/-1 ?

On peut même retirer le dénominateur comme c'est 1, fin -1 non? Comme le dénominateur est aussi negatif

Numérateur*

oui, c'est beaucoup mieux
ca donne   Kn =  2^n    -   1  
vérifions :
tu as trouvé que 1  +  2  +  4   =  7
pour n=3 (3 termes, 3 étapes )
on a bien    K₃ =  2^3  -  1  =   8-1  = 7     ça marche !!

c'est clair pour toi ?
à présent, tu peux répondre à la question : "combien de carrés en tout à l'issue de l'étape 20? " ...

Oui désolé donc K20=2^20-1=1048575
Carreaux à l'étape 20

Je crois que nous avons fini merci beaucoup du temps et de la patience que vous m'avez accordé c'était vraiment un super échange !!

oui, on a terminé.
J'ai bien aimé aussi l'échange avec toi.
Un petit conseil : quand tu donnes une réponse, n'oublie pas de ramener ta réponse au sujet, ça te permettra de te rendre compte si ta réponse ne va pas, et d'être un peu plus sûre de toi.
exemple : "la hauteur de l'arbre diminuera et deviendra négative",   ou  "le nombre de carrés = 1^n"
tu vois ce que je veux dire ?
Bonne soirée, à une prochaine fois.

Oui je vois ce que vous voulez dire, ce sont vraiment des erreurs « bêtes » qu'on peut facilement éviter.
A une prochaine fois! Encore merci