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suites
Bonsoir, j'aimerais de l'aide pour la q.4 (a et b) de mon dm de maths.
Exercice 1: (Un) et (vn) sont les suites définies par u0=1, v0=2 et pour tout entier naturel n :
Un+1 = (un+2Vn)/3 et Vn+1 = (un+3Vn)/4
1. Conjecturer à l'aide d'un tableur ou d'une calculatrice :
1. le sens de variation des suites (un) et (Vn).
2. la limite des suites (un) et (Vn).
2. (wn) est la suite définie sur N par Wn=Vn-un
a) Démontrer que la suite (wn) est géométrique de raison
1/12.
b) Exprimer w. en fonction de n.
1. (tn) est la suite définie sur N par t, =3un+8vn, - Démontrer que la suite (tn) est constante.
2. a) Déduire des question 2. b) et 3. que pour tout entier naturel n :
un= 19/11 - 8/11 (1/12)**n
et vn= 19/11 + 3/11 (1/12)**n
b) Démontrer alors les conjectures émises à la question 1. a).
A la q2.b, j'ai trouvé Wn =(1/12)**n.
Du coup pour la q4 , je ne sais pas comment trouver Un et Vn .
Merci d'avance !
1. (tn) est la suite définie sur N par t, =3un+8vn, - Démontrer que la suite (tn) est constante.
tu as répondu à cette question ?
Oh pardon pour la q4 c'est là où j'ai mis q2.a et b.
Oui, j'ai répondu à cette question à la fin, tn+1-tn=0 et donc tn+1 =tn.
ok pour tn . La suite est constante : quelle est sa valeur ?
C'est ça dont tu as besoin pour la question suivante.
oui tn = 19
donc 3 Un + 8 Vn = 19 (EQ1)
et Vn - Un = (1/12)^n (EQ2)
c'est un système de deux équations à deux inconnues.
multiplie par 3 les deux membres de (EQ2) :
3 Un + 8 Vn = 19 (EQ1)
et 3 Vn - 3 Un = 3* (1/12)^n ( 3* EQ2)
tu sais trouver Vn ?
(Je suis vraiment désolée de demander aussi tard ...)
Du coup pour vn j'ai trouvé une expression avec19/8 au lieu de 19/11...et je ne trouve pas mon erreur.
3 Un + 8 Vn = 19 (EQ1)
Vn - Un = (1/12)^n (EQ2)
je multiplie par 3 les deux membres de (EQ2) :
3 Un + 8 Vn = 19 (EQ1)
3 Vn - 3 Un = 3* (1/12)^n ( 3* EQ2)
et j'ajoute membre à membre les deux lignes :
11 Vn = 19 + 3 * (1/12)^n
enfin tu divises tout par 11
Pour Un tu peux faire pareil :
3 Un + 8 Vn = 19 (EQ1)
Vn - Un = (1/12)^n (EQ2)
je multiplie par -8 les deux membres de (EQ2) :
3 Un + 8 Vn = 19 (EQ1)
-8 Vn + 8 Un = -8* (1/12)^n ( -8 * EQ2)
et j'ajoute membre à membre les deux lignes :
11 Un = 19 - 8 * (1/12)^n
enfin tu divises tout par 11
OK ??
Ah merci ! Je vient de voir mon erreur!
Franchement merci pour ton aide. Je ne vais pas plus te déranger, je me débrouillerai avec le reste .
Encore merci !
Pour les conjectures, j'avais dit que u(n) est (croissante puis) constante et que vn est (décroissante puis) constante.(avec la calculatrice)
(Un) croissante : oui,
tu peux calculer Un+1 - Un et montrer que c'est positif
(Vn) décroissante : oui
montre que Vn+1 - Vn est négatif
(pars des Un et Vn de la question 4a)
ensuite tu dis "constante ensuite", non, elles ne sont pas constantes ensuite. Elles tendent vers une limite.
la question 2 était de conjecturer leurs limites.
Tu l'as fait ?
oui, pour une conjecture, limite = 1,73 c'est bien.
à présent, il faut démontrer.
pour le sens de variation, tu sais quoi faire,
pour la limite quand n tend vers +oo
Un = 19/11 - 8/11 * (1/12)^n
à ton avis ?
là, c'est un peu au hasard, non ?
d'ailleurs si tu dis +oo, c'est que ta conjecture était fausse....
Un = 19/11 - 8/11 * (1/12)^n
quand n est très grand, vers quoi tend (1/12)^n ?
non, tu te trompes.
1/12 < 1 , (1/12)^n tend vers 0 quand n est très grand
(regarde : 1/12 ² = 1/144, 1/12^3 = 1/1728 tu vois que ça diminue, ça ne grandit pas. )
donc
- 8/11 * (1/12)^n tend vers 0
et
Un = 19/11 - 8/11 * (1/12)^n tend vers 19/11
et là, c'est magique : 19/11 = environ 1,72727.... OUah !
AH ! je suis paumé ! OK là c'est bon .
Merci de votre investissement .
Enfaite on ne me demandait même pas de démontrer la conjecture des limites , mais c'est toujours bien d'avoir une explication 
.
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