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suites

Posté par
MINETA
06-03-23 à 20:35

Bonsoir, j'aimerais de l'aide pour la q.4 (a et b) de mon dm de maths.
Exercice 1: (Un) et (vn) sont les suites définies par u0=1, v0=2 et pour tout entier naturel n :
Un+1 = (un+2Vn)/3       et    Vn+1 = (un+3Vn)/4

1. Conjecturer à l'aide d'un tableur ou d'une calculatrice :
1. le sens de variation des suites (un) et (Vn).
2. la limite des suites (un) et (Vn).
2. (wn) est la suite définie sur N par Wn=Vn-un
a) Démontrer que la suite (wn) est géométrique de raison
1/12.
b) Exprimer w. en fonction de n.
1. (tn) est la suite définie sur N par t, =3un+8vn, - Démontrer que la suite (tn) est constante.
2. a) Déduire des question 2. b) et 3. que pour tout entier naturel n :
un= 19/11 - 8/11 (1/12)**n

et vn= 19/11 + 3/11 (1/12)**n

b) Démontrer alors les conjectures émises à la question 1. a).


A la q2.b, j'ai trouvé Wn =(1/12)**n.
Du coup pour la q4 , je ne sais pas comment trouver Un et Vn .

Merci d'avance !

Posté par
Leile
re : suites 06-03-23 à 21:05

bonjour,
il n'y a pas de question 4 dans ton énoncé...

Posté par
Leile
re : suites 06-03-23 à 21:14

1. (tn) est la suite définie sur N par t, =3un+8vn, - Démontrer que la suite (tn) est constante.

tu as répondu à cette question ?

Posté par
MINETA
re : suites 06-03-23 à 21:25

Oh pardon pour la q4 c'est là où j'ai mis q2.a et b.
Oui, j'ai répondu à cette question à la fin, tn+1-tn=0 et donc tn+1 =tn.

Posté par
Leile
re : suites 06-03-23 à 21:31

ok pour tn  . La suite est constante : quelle est sa valeur ?
C'est ça dont tu as besoin pour la question suivante.

Posté par
Leile
re : suites 06-03-23 à 21:52

tu ne réponds plus ?

Posté par
MINETA
re : suites 06-03-23 à 21:57

Pour tn, j'ai obtenu 19.

Posté par
MINETA
re : suites 06-03-23 à 22:00

Enfaite, je n'arrive pas à trouver l'équation qui va me permettre de retrouver u(n) et v(n).

Posté par
Leile
re : suites 06-03-23 à 22:05

oui  tn = 19  

donc   3  Un  +  8 Vn   =  19    (EQ1)
et         Vn   -   Un     =   (1/12)^n    (EQ2)
c'est un système  de deux équations à deux inconnues.

multiplie par 3  les deux membres de (EQ2)  :
3  Un  +  8 Vn   =  19    (EQ1)
et       3  Vn   -    3 Un     =  3* (1/12)^n    (   3* EQ2)
tu sais trouver Vn  ?

Posté par
MINETA
re : suites 06-03-23 à 22:08

D'accord je vais résoudre le système alors.

Posté par
MINETA
re : suites 06-03-23 à 22:24

(Je suis vraiment désolée de demander aussi tard ...)
Du coup pour vn j'ai trouvé une expression avec19/8 au lieu de 19/11...et je ne trouve pas mon erreur.

Posté par
Leile
re : suites 06-03-23 à 22:27


3  Un  +  8 Vn   =  19    (EQ1)
      Vn   -   Un     =   (1/12)^n    (EQ2)

je multiplie par 3  les deux membres de (EQ2)  :
3  Un  +  8 Vn   =  19    (EQ1)
     3  Vn   -    3 Un     =  3* (1/12)^n    (   3* EQ2)

et j'ajoute membre à membre les deux lignes :
11  Vn    =  19   +  3 * (1/12)^n
enfin tu divises tout par 11

Posté par
Leile
re : suites 06-03-23 à 22:30

Pour Un   tu peux faire pareil :

3  Un  +  8 Vn   =  19    (EQ1)
      Vn   -   Un     =   (1/12)^n    (EQ2)

je multiplie par -8  les deux membres de (EQ2)  :
3  Un  +  8 Vn   =  19    (EQ1)
     -8  Vn  + 8 Un     =  -8* (1/12)^n    (  -8 * EQ2)

et j'ajoute membre à membre les deux lignes :
11  Un    =  19   - 8  * (1/12)^n
enfin tu divises tout par 11

OK ??

Posté par
MINETA
re : suites 06-03-23 à 22:31

Ah merci ! Je vient de voir mon erreur!
Franchement merci pour ton aide. Je ne vais pas plus te déranger, je me débrouillerai avec le reste .
Encore merci !

Posté par
Leile
re : suites 06-03-23 à 22:33

c'est presque fini, et je suis encore là...  

Posté par
MINETA
re : suites 06-03-23 à 22:41

Ah d'accord.
Pour démontrer les conjectures, il faut juste faire un+1-un vn+1 -vn
non ?

Posté par
Leile
re : suites 06-03-23 à 22:42

ça dépend de quelle conjecture tu parles...
et d'ailleurs, quelles conjectures avais tu faites ?

Posté par
MINETA
re : suites 06-03-23 à 22:47

Pour les conjectures, j'avais dit que u(n) est (croissante puis) constante et que vn est (décroissante puis) constante.(avec la calculatrice)

Posté par
MINETA
re : suites 06-03-23 à 22:49

du coup je parle des conjectures sur le sens de variation des suites.

Posté par
Leile
re : suites 06-03-23 à 22:51

(Un)  croissante : oui,
tu peux calculer   Un+1  -  Un   et montrer que c'est positif

(Vn) décroissante : oui
montre que Vn+1 - Vn est négatif

(pars des Un et Vn de la question 4a)


ensuite tu dis "constante ensuite", non, elles ne sont pas constantes ensuite.  Elles tendent vers une limite.
la question 2  était de conjecturer leurs limites.
Tu l'as fait ?

Posté par
MINETA
re : suites 06-03-23 à 22:53

AH ok et pour les limites , j'avais 1,73 pour les deux suites

Posté par
Leile
re : suites 06-03-23 à 22:59

oui, pour une conjecture, limite = 1,73  c'est bien.

à présent, il faut démontrer.
pour le sens de variation, tu sais quoi faire,

pour la limite quand  n tend vers +oo
  Un    =  19/11   - 8/11  * (1/12)^n
à ton avis ?

Posté par
MINETA
re : suites 06-03-23 à 23:05

j'aurais dit +oo pour la limite.

Posté par
Leile
re : suites 06-03-23 à 23:10

là, c'est un peu au hasard, non ?
d'ailleurs si tu dis +oo, c'est que ta conjecture était fausse....

Un    =  19/11   - 8/11  * (1/12)^n
quand n est très grand,    vers quoi tend   (1/12)^n  ?

Posté par
MINETA
re : suites 06-03-23 à 23:14

vers -oo.

Posté par
Leile
re : suites 06-03-23 à 23:24

non, tu te trompes.
1/12  <  1    ,    (1/12)^n  tend vers 0 quand n est très grand

(regarde :    1/12 ² =  1/144,    1/12^3  = 1/1728     tu vois que ça diminue, ça ne grandit pas. )

donc
   - 8/11  * (1/12)^n  tend vers 0
et
Un    =  19/11   - 8/11  * (1/12)^n   tend vers 19/11
et là, c'est magique : 19/11  = environ 1,72727....     OUah !

Posté par
MINETA
re : suites 06-03-23 à 23:31

AH ! je suis paumé ! OK là c'est bon .
Merci de votre investissement .
Enfaite on ne me demandait même pas de démontrer la conjecture des limites , mais c'est toujours bien d'avoir une explication .

Posté par
MINETA
re : suites 06-03-23 à 23:32

Merci !

Posté par
Leile
re : suites 06-03-23 à 23:46

je t'en prie, bonne nuit.



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