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suites arithmético-géometrique

Posté par béren02 (invité) 14-05-05 à 10:58

Bonjour.
J'ai un exercice de mon dm qui me pose un problème a cause d'une question que je ne comprends pas. Je vous donne l'exercice en question et mes réponses déjà faites pour que ça soit plus clair:
1. On considere la suite (Un) définie pas Uo=6, et pour tout entier naturel ,, Un+1 = 1/3Un-2
a)Préciser les cinq premiers termes de la suite (Un).
b)Démontrer que (Un) n'est ni arithmétique, ni géométrique.
1a)
U1 = 1/3 x 6 - 2 = 0
U2 = 1/3 x 0 - 2 = -2
U3 = 1/3 x (-2) - 2 = -8/3
U4 = 1/3 x (-8/3) - 2 = -26/9
U5 = 1/3 x (-26/9) - 2 = -80/27

b)
Si arithmétique alors = Un+1 - Un
or = 1/3 Un - 2 - Un
Si géométrique alors = Un+1/Un
or = (1/3 Un - 2)/Un
Donc la suite est ni géométrique, ni arithmétique.

2. On considere la suite (Vn) définie par Vn = Un + 3
a)Demontrer que (Vn) est géométrique.
b)Préciser le terme général pour le calcul de Vn.
3.a) En déduire le terme général de Un
b)Préciser la valeur eaxcte des termes U7 et U8 puis la valeur approchée à 10^-2

2a) (Un+1 + 3)/ Un+3 = (1/3 Un-2+3)/ Un+3 = (1/3 Un+1)/ Un+3 = ((Un+3)(1/3)/ Un+3 = 1/3
Donc la suite est géométriqe.

Ensuite c'est la qu je comprend pas, je ne c'est pas que que veut dire calculer un terme général d'une suite ?!
Pourriez vous m'aidez svp.
Merci

Posté par
Titi de la TS3bon 14-05-05 à 11:08

je ne pense pas que ton 1b soit trés convaicant, pour prouver qu'elle ni géo ni arith tu peux utiliser les termes que tu as calculé dans ton 1)a

le terme général d'une suite est l'expression d'une en fonction de n ici comme tu as prouvé sans faute que Vn est une suite géo t'endéduis que Vn= V0* (1/3)^n et tu pourras en déduire le terme général de Un.
V0* (1/3)^n = Un + 3
Et voilà

Posté par béren02 (invité)merci mais... 14-05-05 à 11:55

Merci beaucoup pour l'aide de la 1a, j'y avait pas pensé !!
Mais je ne comprend pas comment on peut trouver V0*(1/3)^n = Un+3 ?

Posté par béren02 (invité)pour Un 14-05-05 à 12:04

Je suis pas sur de ça mais d'après ce que vous m'avez repondu...
est-ce que le terme général de Un peut être : Un = Vo*(1/3)^n ??
MAis sinon  je ne voit toujours pas l'explication avec V0...
merci

Posté par
Nightmarere : suites arithmético-géometrique 14-05-05 à 12:09

Bonjour

Revois ton cours

On te dit que si (Vn) est une suite géométrique de raison q et de premier terme V0 alors pour tout n naturel :
V_{n}=V_{0}\times q^{n}

Donc ici :
V_{n}=V_{0}\times\(\frac{1}{3}\)^{n}

Or , on nous dit que :
V_{n}=U_{n}+3
ainsi :
U_{n}+3=V_{0}\times\(\frac{1}{3}\)^{n}

je te laisse continuer


jord

Posté par dolphie (invité)re : suites arithmético-géometrique 14-05-05 à 12:11

salut,

2. a) v_n=u_n+3
donc v_{n+1}=u_{n+1}+3
ainsi:
\frac{v_{n+1}}{v_n}=\frac{u_{n+1}+3}{u_n+3}
\frac{v_{n+1}}{v_n}=\frac{\frac{1}{3}u_n-2+3}{u_n+3}
\frac{v_{n+1}}{v_n}=\frac{\frac{1}{3}u_n+1}{u_n+3}
\frac{v_{n+1}}{v_n}=\frac{\frac{1}{3}(u_n+3)}{u_n+3}
\frac{v_{n+1}}{v_n}=\frac{1}{3}
donc Vn est une suite géométrique de raison 1/3 et de premier terme v0=9.

b) terme général:
pour tout n, v_n=v_0\times q^n
donc pour tout n: v_n=9\times (\frac{1}{3})^n
ou encore, pour v0=9,v1=3 et pour tout n \ge 2: v_n=3^2\times (\frac{1}{3^2})\times \frac{1}{3^{n-2}}, cad:
v_n=\frac{1}{3^{n-2}}

Posté par dolphie (invité)re : suites arithmético-géometrique 14-05-05 à 12:12

Salut Jord,

Posté par dolphie (invité)re : suites arithmético-géometrique 14-05-05 à 12:14

bon je termine....mais nightmare t'a bien guidé pour la suite:
3. v_n=u_n+3donc u_n=v_n-3
ainsi:
u_0=6
u_1=0
pour n \ge 2 : u_n=\frac{1}{3^{n-2}}-3

b) je te laisse terminer

Posté par
Nightmarere : suites arithmético-géometrique 14-05-05 à 12:16

Salut dolphie

Posté par dolphie (invité)re : suites arithmético-géometrique 14-05-05 à 12:21

salut...on se croise partout!

Posté par
Nightmarere : suites arithmético-géometrique 14-05-05 à 12:23

héhé , du moment que nos raisonnements/résultats sont égaux pas de probléme


Jord

Posté par dolphie (invité)re : suites arithmético-géometrique 14-05-05 à 12:33

Heureusement!

Posté par béren02 (invité)fin 3e et 4 15-05-05 à 14:37

Rebonjour.
Merci de votre aide, j'ai pu presque terminer mon exercice.
Par contre, je ne vit pas très bien comment calculer U7 et U8 pour la dernier question ?
De meme qu'il y a une dernier question que j'ai oublier de vous faire part... :
Calculer lim Vn et lim Un.
je pene que Un tend vers - et Vn vers + en présentant n>0 mais a vrai dire je sais pas trop comment m'y prendre (limites des suites c'est pas trop mon truc !)
Merci de me donner une piste.


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