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Suites d un dm
salut tout le monde,
g un petit probleme avec mon dm je ne suis pas vraiment fort en math du coup je voudrais de l'aide et si c'est possible une petite explications pour que je ne repose plus la meme question plus tard
merci d'avance
Exercice:
On considère la suite (Un) définie pour tout entier naturel par
U0= 1,5
Un+1= Un2 - 3Un + 4
1. Calculer Un+1 - Un; en déduire que (Un) est croissante, puis qu'elle est minorée par 1.
2. Montrer que Un+1 - 2 = (Un - 1 )(Un - 2).
3. En déduire par récurrence, que Un < ou = 2, pour tout entier n.
4. La suite (Un) est-elle bornée? Justifier.
pour la 3. je vois peut-être comment faire mais je doit dabord faire les précédentes alors voilà
j'attend
si kelkun pouvait me rep
le truc c'est ke c pour demain
merci
Bonjour 
Que n'arrives-tu pas à faire ? la premiere question est tout de même triviale tu devrais savoir la faire si tu connais tes définition 
Jord
1)
U(n+1) - U(n) = (U(n))² - 3U(n) + 4 - U(n)
U(n+1) - U(n) = (U(n))² - 4U(n) + 4
U(n+1) - U(n) = (U(n) - 2)²
Et donc U(n+1) - U(n) >= 0
U(n+1) >= U(n)
La suite Un est donc croissante.
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Comme Uo = 1,5 et que la suite Un est croissante, Un est donc minorée par 1,5 et a fortiori par 1.
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2)
U(n+1) - 2 = (U(n))² - 3U(n) + 4 - 2
U(n+1) - 2 = (U(n))² - 3U(n) + 2
Les solutions de (U(n))² - 3U(n) + 2 = 0 sont 1 et 2 ->
U(n+1) - 2 = (U(n) -1)(U(n) - 2)
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3)
Supposons Un <= 2
On a alors: Un - 2 <= 0
Comme on sait (voir début) que U(n) >= 0, on a aussi U(n) - 1 > 0
--> (U(n) - 1)(U(n)-2) <= 0
U(n+1) - 2 <= 0
U(n+1) <= 2
Donc si U(n) <= 2, on a aussi U(n+1) <= 2 (1)
U(0) = 1,5 ->
U(0) <= 2. Par (1), on a donc aussi U(1) <= 2
U(1) <= 2. Par (1), on a donc aussi U(2) <= 2
U(2) <= 2. Par (1), on a donc aussi U(3) <= 2
Et ainsi de proche en proche, U(n) <= 2 pour tout n de N.
Donc la suite U(n) est majorée par 2.
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4)
On a montré que la suite Un est minorée par 1 et majorée par 2. La suite Un est donc bornée.
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Sauf distraction.
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