salut (tout de meme)
as tu essaye le raisonnement par recurrence ?
si n=1 ok
soit n tel que 1^3+ 2^3+3^3+...+n^3=< n^4

on regarde 1^3+...+(n+1)^3=<n^4+(n+1)^3
(d'apres hypothese de recurrence)
or n^4+(n+1)^3=n^4+n^3+3n^2+3n+1
et (n+1)^4=n^4+4n^3+6n^2+4n+1
donc (n+1)^4>=1^3...+(n+1)^3
donc si la propriete est vraie au rang n, elle l'est au rang (n+1)
comme pour n=1 c'est vrai et que la propriete est hereditaire,1^3...+n^3=<n^4 est vrai pour tout n>=1
a+

Excuse moi.

Bonsoir,

Je n'ai pas bien compris ce passage:

or n^4+(n+1)^3=n^4+n^3+3n^2+3n+1
et (n+1)^4=n^4+4n^3+6n^2+4n+1
donc (n+1)^4>=1^3...+(n+1)^3

n^4+(n+1)^3 =? 1^3...+(n+1)^3

Merci à toi

pour :
n^4+(n+1)^3=n^4+n^3+3n^2+3n+1
developpe n^4+(n+1)^3=...

pour (n+1)^4=n^4+4n^3+6n^2+4n+1
developpe (n+1)^4

pour (n+1)^4>=1^3...+(n+1)^3 :

comme n est positif on peut dire ceci et d'apres les 2 precedentes inegalites :
(n+1)^4>=n^4+(n+1)^3

or d'apres l'hypothese de recurrence on a :
n^4>=n^3+...+1^3

donc (n+1)^4>=(n+1)^3+n^3...+1^3
a+

pour :
n^4+(n+1)^3=n^4+n^3+3n^2+3n+1
developpe n^4+(n+1)^3=...

pour (n+1)^4=n^4+4n^3+6n^2+4n+1
developpe (n+1)^4

pour (n+1)^4>=1^3...+(n+1)^3 :

comme n est positif on peut dire ceci et d'apres les 2 precedentes inegalites :
(n+1)^4>=n^4+(n+1)^3
(ca j'avais compris ...)

or d'apres l'hypothese de recurrence on a :
n^4>=n^3+...+1^3  --> ok un grand merci...

beh je pense ke le plus simple c de faire
         1^3+2^3+3^3....+n^3 < n^3+n^3+n^3+....+n^3
c a dire 1^3+2^3+3^3....+n^3 < n*n^3
soit     1^3+2^3+3^3....+n^3 < n^4
voila