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Suites et cercle !

Posté par milou7700 (invité) 15-05-05 à 17:04

Bonjour a vous ! alors voila j'ai fait un exercice et j'aimerai savoir si mes resultats sont corrects ...
(mon exo est noté!)
Je vous remercie pour l'attention que vous porterez et pour vos réponses ...

On considere un carré ABCO de coté a et le quart de cercle de centre B passant par A et C, et limité à ces points.
On appelle B' le milieu de [BC], et on construit le carré O'C'B'C, et le quart de centre B' comme indiqué sur la figure. On recommence le procédé de facon a construire une spirale par reunion de quarts de cercles successifs.

Quelle est la longueur de la spirale obtenue avec 5 carrés ?
10 carrés?
Quelle est la limite de cette longueur lorsque le nombre de carrés construits tend vers l'infini?


Alors j'ai tenté quelque chose ...
J'ai tout d'abord calculé le perimètre du premier quart de cercle
Ca m'a donné P_1=\frac{a \times pi}{4}
ensuite
P_2=\frac{1}{2}a \times (\frac {pi}{4})
etc pour arriver a
P_n=\frac{1}{2^{n-1}}a \times (\frac{pi}{4})

j'ai donc pour 5 carrés
P_5= \frac {1}{16}a \times (\frac{pi}{4})

pour 10 carrés
P_10= \frac {1}{512}a \times (\frac{pi}{4})

et la limite quand le nombre de carré tend vers l'infini = 0


est-ce correct ?




Suites et cercle !

Posté par dolphie (invité)re : Suites et cercle ! 15-05-05 à 17:08

salut

perimétre d'un cercle: P = 2\pir, donc un quart de cercle:
p1 = \frac{a\pi}{2}

Posté par dolphie (invité)re : Suites et cercle ! 15-05-05 à 17:11

et ensuite ton raisonnemt est bon, sauf une erreur du début qui fausse tout:

p_n=\frac{a\pi}{2^n}

mais attention tu ne réponds pas à la question... tu as calculé le périmètre de la nème spirale (5ème et 10ème) mais on te demandait la spirale entière....
il faut donc faire la somme!!!
après 5 carrés:

S_5 = p_1+p_2+...+p_5
S_{10} = p_1+p_2+...+p_{10}

tu sommes une suite géométrique.... donc tu dois pouvoir écrire en fonction de n, Sn

Posté par milou7700 (invité)re : Suites et cercle ! 15-05-05 à 17:43

P_n = \frac{1}{2^{n-1}}a - \frac {pi}{2}
ca marche aussi???

haaa oui ! javais mal compris ! (pour la somme!)

Posté par milou7700 (invité)re : Suites et cercle ! 15-05-05 à 17:54

en simplifiant j'ai P_n = P_1 \times (\frac{1}{2})^{n-1}

pour dire que la suite est géométrique de raison q=1/2

je ne me souviens plus comment calculer les termes de la suite géo a partir de P_1 (donc pa P_0)

pouvez vous me la rappeler svp ...

je pense que c'est S= P_1 \times (1-q^n) / 1-q
mais je ne suis pas du tout sure

Posté par dolphie (invité)re : Suites et cercle ! 15-05-05 à 18:00

et bien si c ca:
1 er terme * (1-q^(nb de termes))/(1-q)

Posté par dolphie (invité)re : Suites et cercle ! 15-05-05 à 18:01

ensuite ...pour la limite:
(1/2)^n tend vers 0 (1/2 < 1)
donc S va tendre vers 2P1

Posté par milou7700 (invité)re : Suites et cercle ! 15-05-05 à 18:18

alors j'ai tenté de resoudre et j'ai
S_5=\frac{a\times pi}{2} \times \frac{31}{16}

S_10=\frac{a\times pi}{2} \times \frac{1023}{512}

et j'ai bien ton résultat pour la limite ...

est-ce correct pour mes sommes ?

Posté par dolphie (invité)re : Suites et cercle ! 15-05-05 à 18:24

oui ca m'a l'air bon

Posté par milou7700 (invité)MERCI !!! 15-05-05 à 18:32

super! merci beaucoup de ton aide ...

ps : tu pourrais regarder le topic statistique pour voir si mes resultats sont corrects???


merci encore !


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