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suites et fonction polynome

Posté par pamputt (invité) 14-04-03 à 16:22

f est la fonction polynôme f(x)=(x+1)^3-x^3
On note S=1+2+...+n et P=1²+2²+...+n²
1.Verifiez que f(x)=3x²+3x+1.
2.a)En remplacant successivement x par 1;2;...;n,démontrez que :
f(1)+f(2)+...+f(n)=(n+1)^3-1=3P+3S+n
  b)Déduisez en que P+S=(n(n+1)(n+2))/3.
3.Calculez S en fonction de n puis démontrez que :        
P=(n(n+1)(2n+1))/6.

Posté par (invité)re : suites et fonction polynome 15-04-03 à 12:16

1. f(x)=(x+1)(x^2+2x+1)-x^3
          =x^3+2x^2+x+x^2+2x+1-x^3
          =3x^2+3x+1
2.a.
f(1)=2^3-1^3
f(2)=3^3-2^3
f(3)=4^3-3^3
f(4)=5^3-4^3
.......................
f(n)=(n+1)^3-n^3
__________________ en faisant la somme
f(1)+f(2)+...+f(n)
=2^3-1+3^3-2^3+4^3-3^3+...+(n+1)^3-n^3
=(n+1)^3-1        tu voi ke pleins de termes s'annulent!

D'autre part grace a la question 1
f(1)+f(2)+...+f(n)
=3*1^2+3*1+1  +  3*2^2+3*2+1  +...+  3*n^2+3*n+1
=3(1^2+2^2+...+n^2)+3(1+2+...+n)+1*n
=             3P                 +          3S       +n
=3P+3S+n
2.b.
ainsi 3(P+S)+n=(n+1)^3-1
3(P+S)=(n+1)^3-1-n
           =n^3+3n^2+3n+1  - 1 - n
           =n^3+3n^2+2n
           =n(n^2+3n+2)
           =n(n+2)(n+1)
car n^2+3n+2=0  delta =1  n1=-2 n2 =-1
                              n^2+3n+1=(n-n1)(n-n2)=(n+1)(n+2)

P+S=(n(n+1)(n+2))/3

3.
S=1+2+...+n=(n(n+1))/2 la somme des n premiers entiers

P=n(n+1)(n+2)/3-n(n+1)/2
=n(n+1)[(n+2)/3-1/2]
=n(n+1)[(2n+4)/6-3/6]
=n(n+1)[(2n+4-3)/6
=n(n+1)(2n+1)/6

ET voila.



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