Inscription / Connexion Nouveau Sujet
Accueil l'île des mathématiques Forum de mathématiquesListe de tous les forums de mathématiques LycéeOn parle exclusivement de maths, niveau lycée. PremièreForum de première SuitesTopics traitant de suites [tout]Lister tous les topics de mathématiques
Niveau première
Partager :

suites et limites de suites

Posté par anthony595 (invité) 21-05-05 à 16:55

bonjour
voila un ptit exo
jai une suite un definie par un= \frac{sin n - n}{2+\sqrt{n}}

demontrer que un\le-\sqrt{n}+2
en deduire la limite de un

jai utilisé le theoreme d'encadrement, mais je ne retrouve pas un\le-\sqrt{n}+2

vous pouvez m'aider?

Posté par
H_aldnoerre : suites et limites de suites 21-05-05 à 17:05

slt


as tu essayer une recurrence ?


@+ sur l' _ald_

Posté par anthony595 (invité)re : suites et limites de suites 21-05-05 à 17:09

a bon? pourtant avec des sinus on a toujours fait un encadrement...
mais comment faire l'heredité?

Posté par
siOkre : suites et limites de suites 21-05-05 à 17:10



sin(n) \le 1

sin(n)-n \le 1-n


en divisant chaque membre par 2+\sqr{n} qui est positif
\frac{sin(n)-n}{2+\sqr{n}} \le \frac{1-n}{2+\sqr{n}

et comme 1-n=(1-\sqr{n})(1+\sqr{n})
\frac{sin(n)-n}{2+\sqr{n}} \le \frac{(1-\sqr{n})(1+\sqr{n})}{2+\sqr{n}} \le \frac{(1-\sqr{n})(1+\sqr{n})}{1+\sqr{n}

\frac{sin(n)-n}{2+\sqr{n}} \le 1-\sqr{n} \le 2-\sqr{n}

Posté par
siOkre : suites et limites de suites 21-05-05 à 17:11

J'ai oublié de dire bonjour ...

Posté par Frip44 (invité)re : suites et limites de suites 21-05-05 à 17:12

Vi mais là, l'encadrement est un peu compliqué je trouve perso, donc essaye plutôt par recurrence...

++
(^_^)Fripounet(^_^)

Posté par Frip44 (invité)re : suites et limites de suites 21-05-05 à 17:12

J'ai rien dit, siOk...

Posté par
siOkre : suites et limites de suites 21-05-05 à 17:18

moi aussi, je le trouve tirez par les cheveux mais bon ... il me semble correct et il est plus fin que celui proposé ?
est-ce juste ?

Posté par Frip44 (invité)re : suites et limites de suites 21-05-05 à 17:19

Perso je trouve que ton raisonnement tiens parfaitement la route !!!

Posté par anthony595 (invité)re : suites et limites de suites 21-05-05 à 17:24

ouai c'est pas faux! mais si cest cette technique j'aurais jamais trouvé seul! lol admetons que j'essai par recurance, pour l'heredité je fais comment?

Posté par
siOkre : suites et limites de suites 21-05-05 à 17:29

l'hérédité, je ne la sens pas bien ... je ne vois pas.


par contre, il y a une méthode très simple que tu connais ...
pour comparer, tu étudis le signe de la différence

\frac{sin(n)-n}{2+\sqr{n}}-(-\sqr{n}+2) en réduisant au même dénominateur, cela "roule" tout seul !

Posté par Frip44 (invité)re : suites et limites de suites 21-05-05 à 17:30

Je suis sur l'hérédité depuis tout à l'heure et je sèche totalement !!! donc la méthode de siOk est parfaite !!!

Posté par anthony595 (invité)re : suites et limites de suites 21-05-05 à 17:44

le signe de la differenec? c'est pas con ca!

Posté par
H_aldnoerre : suites et limites de suites 21-05-05 à 19:00

re


3$\rm (P_n): U_n\le-\sqrt{n}+2

3$\rm (P_0): U_0\le-\sqrt{0}+2 vrai car U_0=0

3$\line(500)

3$\rm (P_{n+1}): U_{n+1}\le-\sqrt{n+1}+2
3$\rm c a d
3$\rm\frac{\sin(n+1)-n-1}{2+\sqrt{n+1}}\le-\sqrt{n+1}+2
i.e.
3$\rm \frac{\sin(n+1)-(n+1)}{2+\sqrt{n+1}}+\sqrt{n+1}-2\le0
i.e.
3$\rm \frac{\sin(n+1)-(n+1)}{2+\sqrt{n+1}}+\frac{(\sqrt{n+1}-2)(2+\sqrt{n+1})}{2+\sqrt{n+1}}\le0
i.e.
3$\rm \frac{\sin(n+1)-(n+1)}{2+\sqrt{n+1}}+\frac{(\sqrt{n+1}-2)(\sqrt{n+1}+2)}{2+\sqrt{n+1}}\le0
i.e.
3$\rm \frac{\sin(n+1)-(n+1)}{2+\sqrt{n+1}}+\frac{\sqrt{n+1}^2-2^2}{2+\sqrt{n+1}}\le0
i.e.
3$\rm \frac{\sin(n+1)-(n+1)}{2+\sqrt{n+1}}+\frac{(n+1)-4}{2+\sqrt{n+1}}\le0
i.e.
3$\rm \frac{\sin(n+1)-(n+1)+(n+1)-4}{2+\sqrt{n+1}}\le0
i.e.
3$\rm \frac{\sin(n+1)-4}{2+\sqrt{n+1}}\le0
i.e.
3$\rm \sin(n+1)-4\le0
i.e.
3$\rm \sin(n+1)\le4

toujour vrai

3$\rm \underline{par hyp de reccurence :}

3$\rm \frac{\sin(n)-n}{2+\sqrt{n}}\le-\sqrt{n}+2
i.e.
3$\rm \frac{\sin(n)-n}{2+\sqrt{n}}+\sqrt{n}-2\le0
i.e.
3$\rm \frac{\sin(n)-n}{2+\sqrt{n}}+\frac{(\sqrt{n}-2)(2+\sqrt{n})}{2+\sqrt{n}}\le0
i.e.
3$\rm \frac{\sin(n)-n}{2+\sqrt{n}}+\frac{(\sqrt{n}-2)(\sqrt{n}+2)}{2+\sqrt{n}}\le0
i.e.
3$\rm \frac{\sin(n)-n}{2+\sqrt{n}}+\frac{\sqrt{n}^2-2^2}{2+\sqrt{n}}\le0
i.e.
3$\rm \frac{\sin(n)-n}{2+\sqrt{n}}+\frac{n-4}{2+\sqrt{n}}\le0
i.e.
3$\rm \frac{\sin(n)-n+n-4}{2+\sqrt{n}}\le0
i.e.
3$\rm \frac{\sin(n)-4}{2+\sqrt{n}}\le0
i.e.
3$\rm \sin(n)-4\le0
i.e.
3$\rm \sin(n)\le4

toujour vrai.

... pas trop compliqué ... enfin a mon sens.


@+ sur l' _ald_

Posté par
siOkre : suites et limites de suites 21-05-05 à 19:12

=> H_aldnoer

bof ... tu te mélanges les pinceaux (à mon humble avis)

1) du début à "toujours vrai"
tu prouves P(n+1) sans utiliser l'hypothèse de récurrence ... bizarre .

2)  à partir de "par hyp de récurrence"
tu prouves directement P(n) en étudiant le signe de la différence (c'est la preuve proposée ci-dessus) ... mais dans un raisonnement par récurrence, c'est inutile: on se place sous l'hypothèse P(n) vraie pour l'hérédité.



Posté par
H_aldnoerre : suites et limites de suites 21-05-05 à 19:14

slt siOk,

en fait j'ai fait cela sans vraiment faire peuvre de rigeur car la solution etant donne ...

il est vrai que la redaction n'est pas correcte mais ... la solution etant deja donné ..



@+ sur l' _ald_

Posté par
siOkre : suites et limites de suites 21-05-05 à 19:16

effectivement ... mais révise la récurrence pour le bac

Posté par
H_aldnoerre : suites et limites de suites 21-05-05 à 19:30

re


t'en fait pas va !

je redige pas sur le site comme sur la copie


@+ sur l':ilmaths: _ald_

Posté par
siOkre : suites et limites de suites 21-05-05 à 19:31

effectivement ... je t'ai déjà vu à l'oeuvre sur de nombreux posts ... je ne suis pas inquiet

Posté par
H_aldnoerre : suites et limites de suites 21-05-05 à 19:33






@+ sur l' _ald_

Posté par anthony595 (invité)re : suites et limites de suites 22-05-05 à 09:12

chapeau bas !! :p  merci!
Je bloque encore dans cet exo sur une suite avec du seconde degré(deja je savais pas que ça existait^^)
Vnest une suite geometrique de premier terme u1=3 et de raison -2.
trouver les réels qn et pn pour que l'équation x²+pnx+qn=0 ait pour solution un et un+1.


c'est fort ça non? en tout cas on pas encore vu ce type de problème...

je calcul deja un=3*(-2)n
                            =(-6)n
et             un+1=3*(-2)n+1
                              =(-6)n+1
ensuite je fais comment?

Posté par
siOkre : suites et limites de suites 22-05-05 à 09:42

déjà,à cause de la règle des priorités:  3\time (-2)^n \neq (-2\time3)^n

comme un et un+1 sont les racines, on peut factoriser
x^2+p_nx+q_n=(x-u_n)(x-u_{n+1})

donc x^2+p_nx+q_n=(x-u_n)(x-u_{n+1})=x^2-(u_n+u_{n+1})x+u_n u_{n+1}

et en identifiant les coefficients tu as la réponse.


Rechercher
Menu
Espace membre
Changer d'île

Vous devez être membre accéder à ce service...

Pas encore inscrit ?

1 compte par personne, multi-compte interdit !

Ou identifiez-vous :

Rester sur la page

Inscription gratuite

Fiches en rapport

parmi 1675 fiches de maths

Désolé, votre version d'Internet Explorer est plus que périmée ! Merci de le mettre à jour ou de télécharger Firefox ou Google Chrome pour utiliser le site. Votre ordinateur vous remerciera !