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Suites! Exercice trop chaud pour DM...

Posté par Airj23 (invité) 02-04-05 à 15:59

Bonjour, voila, je suis en premiere s et j'ai un DM a rendre jeudi sur les limites de suites, j'ai rien compris, pouvez-vous m'aider svp...
Voila mon probleme entier, faites ce que vous pouvez.

Soit Un la suite définie par Uo=-2 et U_{n+1}=\frac{-U_n+n}{4}, pour tout entier n
1) Calculez les premiers termes de la suite Un et emmettre une conjecture sur le comportement de Un lorsque n tend vers +
2) Soit Vn la suite définie par V_n=U_{n+1}-U_n pour tout entier n.
    a) Montrez que Vn vérifie la relation de récurrence :
V_{n+1}=-\frac{1}{4}V_n+\frac{1}{4}
    b) Exprimez Vn en fonction de n
3) En remarquant que :
U_n=V{n-1}+V{n-2}+...+V_0+U_0,  déterminez l'expression de Un en fonction de n.
4) En deduire la limite de Un

Posté par
ma_corre suites 02-04-05 à 16:03

Bonjour Airj23.
Dis-nous ce que tu n'as pas su commencer.
Je pense que trouver les premiers termes de la suite ne doit pas te poser de problème?

Posté par Airj23 (invité)re : Suites! Exercice trop chaud pour DM... 02-04-05 à 16:04

oui la question 1) c bon, elle tend vers 0 mé apré...

Posté par
ma_corre suites 02-04-05 à 16:20

Voilà. je reprends le topic car j'étais en train d'en consulter d'autres...

Posté par
ma_corre suites 02-04-05 à 16:21

Bon.
Après avoir calculé les premiers termes, calcule le 10e, le 20e, le 100e et constates-tu quelques chose?

Posté par
ma_corre suites 02-04-05 à 16:30

Essaie de trouver le 10e car les autres me semblent impossible à trouver pour le moment...

Posté par
ma_corre suites 02-04-05 à 16:56

Mille excuses, mais je dois partir.
J'espère que tu auras les renseignements par la suite.
Si pas, je serai au rendez-vous demain.

Posté par
ma_corre suites 03-04-05 à 18:44

Bonjour.
Après vérification, la suite ne tend pas vers 0, mais semble tendre vers 2 : U_9=\frac{214959}{131072} et U_{10}=\frac{964689}{524288}.

Posté par minotaure (invité)re : Suites! Exercice trop chaud pour DM... 03-04-05 à 18:59

salut

je me trompe peut etre mais n'y aurait il pas une erreur d'enonce (ou un manque d'hypothese) ?

car la suite V obtenue par la relation :

V(n+1)=(1/4)*(1-V(n)) n'est ni geometrique ni arithmetique.
c'est une suite artihmetico - geometrique.
mais ca en premiere on ne peut pas donne V en fonction de n (cf question 2b) a moins d'utiliser une nouvelle suite intermediaire.

Posté par
ma_corre suites 03-04-05 à 19:40

Pour la question 2, tu as : V_{n+1}=U_{n+2}-U_{n+1}=\frac{-U_{n+1}+n+1}{4}-\frac{-U_n+n}{4}=\frac{-1}{4}(U_{n+1}-U_n)+\frac{n+1}{4}-\frac{n}{4}=\frac{-1}{4}V_n+\frac{1}{4}.  On a ainsi une suite arithmético-géométrique (V{n+1}=aV_n+b).
On tire :
V_0=U_1-U_0=\frac{1}{2}-(-2)=\frac{5}{2}
V_1=\frac{-1}{4}V_0+\frac{1}{4}
V_2=\frac{-1}{4}V_1+\frac{1}{4}=\frac{-1}{4}\(\frac{-1}{4}V_0+\frac{1}{4}\)+\frac{1}{4}=\(\frac{-1}{4}\)^2V_0+\frac{1}{4}-\frac{1}{16}
V_3=\frac{-1}{4}V_2+\frac{1}{4}=\(\frac{-1}{4}\)^3V_0+\frac{1}{4}-\frac{1}{16}+\frac{1}{64}
...
\forall{n}\ge 1 : V_{n}=\(\frac{-1}{4}\)^{n}V_0-\(\bigsum_{k=1}^{n}\(\frac{-1}{4}\)^k\)

Posté par
ma_corre suites 03-04-05 à 19:41

Bonsoir minotaure.
J'étais en train de rédiger sans faire la mise à jour...
Enfin, nous ne sommes pas de trop pour ce problème intéressant.

Posté par
ma_corre suites 03-04-05 à 20:04

Sur ma lancée, on a :
\bigsum_{k=1}^{n}\(\frac{-1}{4}\)^k=\frac{-1}{4}.\frac{\(\frac{-1}{4}\)^n-1}{\frac{-1}{4}-1}=\frac{1}{5}\(\(\frac{-1}{4}\)^n-1\)
Ainsi, \forall n\ge 1 : V_n=\(\frac{-1}{4}\)^n.\frac{5}{2}-\frac{1}{5}\(\(\frac{-1}{4}\)^n-1\)=\frac{1}{5}+\frac{23}{10}\(\frac{-1}{4}\)^n.

Posté par
ma_corre suites 03-04-05 à 20:12

Pour la 3, on a :
V_{n-1}=U_n-U_{n-1}
V_{n-2}=U_{n-1}-U_{n-2}
V_{n-3}=U_{n-2}-U_{n-3}
...
V_1=U_2-U_1
V_0=U_1-U_0
On ajoute membre à membre et on a : V_{n-1}+V_{n-2}+...+V_1+V_0=U_n-U_0 et donc la propriété anoncée.
Dès lors, U_n=\bigsum_{k=0}^{n-1}V_k+U_0.
Tu as maintenant tous les ingrédients pour terminer ton exercice...
A+

Posté par
ma_corre suites 03-04-05 à 22:08

Une petite rectification : U_{10}=\frac{964329}{524128}.
J'ai encore calculé U_{11}=\frac{4276951}{2096512} qui dépasse 2 et donc la conjecture serait que U_n diverge.

Posté par
ma_corre suites 03-04-05 à 22:14

En fait, tu as : \forall n\ge 1 : U_n=\frac{-8}{50}+\frac{n}{5}-\frac{46}{25}\(\frac{-1}{4}\)^n et on constate bien que U_n diverge quand n tend vers l'infini à cause du terme \frac{n}{5}.

Posté par
ma_corre suites 06-04-05 à 16:57

Un merci, cela fait plaisir...

Posté par Airj23 (invité)re : Suites! Exercice trop chaud pour DM... 06-04-05 à 17:02

merci, dsl, javé vu ta reponse mé je ne pouvais pa midentifier du lycée c g pu rediger mé pa te remercier...
MERCIIIIII


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