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Suites, justification

Posté par
Alishisap 04-07-18 à 14:27

Bonjour,

voici un énoncé sur les suites (je n'ai gardé que les parties qui m'intéresse) :

Citation :
Soit S la suite définie par S_0=0 et pour tout entier naturel n, S_{n+1}=S_n+\dfrac{1}{n+1}-\dfrac{1}{n+2}

- Déterminer les 4 premiers termes de S,
[...]
- Calculer S_0+S_1+...+S_n puis en déduire que S_n=1-\dfrac{1}{n+1}

On veut faire clairement remarquer à l'élève que \sum\limits_{k=0}^nS_k=\dfrac{1}{2}+\dfrac{2}{3}+\dfrac{3}{4}+... et en déduire facilement le terme général. C'est d'ailleurs l'unique but de cette sommation je pense : faire voir plus facilement à l'élève comment évoluent les termes.

Ma question est : quelle genre de rédaction attendent les enseignants d'un élève de ce niveau ? Car la question demande clairement de "calculer", suffit-il donc que l'élève indique quelque chose du genre :

"on a S_1=\frac{1}{2},S_2=\frac{2}{3},S_3=\frac{3}{4}} et donc de proche en proche, nous observons que S_0+...S_n=\dfrac{1}{2}+\dfrac{2}{3}+\dfrac{3}{4}+...+\dfrac{n}{n+1}} et on en déduit que..."

Car la justification propre que pour tout k, S_k=\dfrac{k}{k+1} se fait par un raisonnement par récurrence qui ne se voit pas en première.

Ce qui me gêne, c'est que l'énoncé demande de "calculer, de déduire", donc de faire un raisonnement rigoureux, ce que l'élève ne peut faire proprement au vu des outils dont il dispose. A moins que quelque chose ne m'échappe.

Qu'en pensez-vous ?

Posté par
malou Webmasterre : Suites, justification 04-07-18 à 16:28

Bonjour
tant qu'on n'a pas la récurrence de terminale, on fait cela ainsi (certains appellent ça une tour d'égalités)
n=0, S_{1}=S_0+\dfrac{1}{1}-\dfrac{1}{2}

n=1, S_{2}=S_1+\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{3}

n=2, S_{3}=S_2+\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{4}
;
;
;
et on ajoute tout membre à membre, et cela se simplifie
(tout en sachant que des points de suspension dans une démonstration, c'est une récurrence cachée)

Posté par
larrechre : Suites, justification 04-07-18 à 16:37

Bonjour malou

C'est un procédé qu'on utilisait couramment quand j'étais étudiant (il y a un certain temps...) qui ne choquait personne, et qui semble être honni désormais. J'ignorais qu'on appelle ça une tour d'égalités.
Cela dit, tu as raison, c'est une récurrence cachée, qu'on n'écrivait pas explicitement car tellement évidente.

Posté par
malou Webmasterre : Suites, justification 04-07-18 à 16:47

mon "on fait cela ainsi" est un peu sec, je n'aime pas ! on peut faire cela ainsi, je préfère....

Posté par
Alishisapre : Suites, justification 06-07-18 à 11:04

malou,

moi qui ne suis pas fan des "petits points", je trouve cette façon de procéder sans la récurrence plutôt élégante.

Merci beaucoup et bonne journée.

Posté par
malou Webmasterre : Suites, justification 06-07-18 à 13:29

de rien, bonne journée à toi aussi !

Posté par
carpediemre : Suites, justification 06-07-18 à 13:34

salut

Alishisap @ 06-07-2018 à 11:04

malou,

moi qui ne suis pas fan des "petits points", je trouve cette façon de procéder sans la récurrence plutôt élégante.

Merci beaucoup et bonne journée.
c'est un classique ... quand on reconnait une suite télescopique ...

Posté par
Alishisapre : Suites, justification 06-07-18 à 13:53

Tout à fait. J'y méditerai.


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