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Suites Numériques arithmétiques géométriques

Posté par Serial matheux (invité) 09-05-03 à 13:00

j' ai plusieurs questions pour vous merci de répondre svp. je
sui déséspérée.

I) Etudier la monotonie de la suite définie pour tout n de N* par Un=2^n/n

II) Soit la suite u définie pour tout n de N par Un+1=Un^2+2Un-6
Est-il possible de choisir U0 de telle sorte que la suite u soit constante?

III) Soit la fonction f définie sur [0;+infini[ par f(x)=cos(2pi*x)/(x+1)
1)La fonction f est elle monotone sur [0;+infini[?

2)Exprimer Un en fonction de n.

3)a)Exprimer Un en fonction de n
b) Etudier le sens de variation de la suite u
c) Montrer que la suite est bornée

IV) une personne a loué un appartement à partir du 1er janvier 2003.
Elle a eu le choix entre 2 formules de contrat. dans les deux cas,
le loyer annuel était de 4000 euros.

1. Contrat n°1 : le locataire accepte une augmentation anuelle de 5%
du loyer de l'année précédente.
a) Calculer le loyer payé en 2004.
b) Soit Un le loyer payé en 2003+n. Exprimer Un+1 en fonction de Un.
En déduire Un en fonction de n.
Quel sera le loyer payé en 2006? Quel sera le loyer payé la sixième année?

V)Pour tout entier n>1 ou n=1, Ln est l'aire de la partie du plan comprise
entre deux demi-cercles successifs de diamètres respectifs n et n+1
1) Montrer que pour tout n de N* : Ln=pi/8*(2n+1)
2) Montrer que la suite (Ln) est arithmétique.
3) Calculer de deux façons différentes la somme: L1+L2+...+L80

VI) Dans le plan muni d'un repère orthonormal, on place le point
A0 de coordonnées (1;0) puis les points A1, A2, A3 ... de telle sorte
que chacun des triangles OAnAn+1 (n appartient à N) soit rectangle
isocèle en An+1. Soit la suite u définie sur N par : Un=AnAn+1

1. Calculer U0 et U1
2. Montrer que la suite u est une suite géométrique.
3. a) Calculer en fonction de n la longueur ln de la ligne brisée A0A1A2A3...An.
b) Quelle est la longueur à 10^-3 près de la ligne A0A1A2A3 ... A16?

Vous pouvez répondre à une seule question si vous voulez. Vous pouvez
me contacter grace à mon e-mail si vous voulez en savoir plus. Je
dispose de quelque schémas par exemple ou tout autre chose ......
chesaispas2@hotmail.com

Posté par
Tom_Pascal Webmaster
re : Suites Numériques arithmétiques géométriques 09-05-03 à 14:05

Je peux répondre à une seule question ? Alors allons y :

I.
Un+1/Un=[2^(n+1)/(n+1)] / [2^n/n]
Un+1/Un=2n / n+1
Or 2n>=n+1 sur * (car n >=1).
D'ou (Un) croissante sur *.

Posté par
J-P Posteur d'énigmes
re : Suites Numériques arithmétiques géométriques 09-05-03 à 14:48

I)

U(n) = 2^n / n
U(n+1) = (2^(n+1)) / (n+1)

U(n+1) / U(n) = [(2^(n+1)) / (n+1)] / [2^n / n]
U(n+1) / U(n) = (2n)/(n+1)

Si n >= 1; on a (2n)/(n+1) >= 1
-> Si n >= 1, on a:  U(n+1) / U(n) >=1
Donc U(n+1) >= U(n)
La suite est donc croissante pour n >= 1 et est donc monotone.

-------------------
II)

Il suffit que U(n+1) = U(n)
-> U(n) = (U(n))² + 2U(n) - 6
(U(n))² + U(n) - 6 = 0
Equation du second degré en U(n) ->
U(n) = -3 et U(n) = 2.

Si U(0) = -3 ou U(0) = 2, la suite Un sera constante.
-------------------
III)

1)
Je ne sais pas s'il s'agit de
f(x) = cos[(2.Pi.x)/(x+1)]
ou de
f(x) = [cos(2.Pi.x)]/(x+1)
De toutes manières, aucune des 2 n'est monotones sur [0 ; oo[
(Il suffit de montrer que la dérivée ne conserve pas partout le même
signe lorsque x varie dans [0 ; oo[).

2 et 3)
De quel Un parle t'on ?
---------------

IV)
1)
a)
U1 = 4000 * 1,05 = 4200 €

b)
U(n+1) = 1,05.U(n)
U(n) = 4000* (1,05)^n

En 2006 -> U(3) = 4000 * (1,05)³ = 4630,5 €
C'est quoi la 6ème année ? 2008 ou 2009 ?
-----------------
V)

1)
La phrase "Ln est l'aire de la partie du plan comprise
entre deux demi-cercles successifs de diamètres respectifs n et n+1"
n'est pas claire du tout.
En décryptant ce français peu académique, on devine:

Aire du (1/2) cercle de diamètre n:    (1/2).Pi.(n/2)² = Pi.n²/8
Aire du (1/2) cercle de diamètre n+1:  (1/2).Pi.((n+1)/2)² = Pi.(n²+2n
+ 1)/8

La différence entre ces 2 aires: L(n) = [Pi.(n²+2n + 1)/8] - [Pi.n²/8]
L(n) = (Pi/8)*(n²+2n+1-n²)
L(n) = (Pi/8)*(2n+1)

2)
L(n+1) = (Pi/8)*(2(n+1)+1)
L(n+1) = (Pi/8)*(2n+3)

L(n+1) - L(n) = (Pi/8)(2n+3 - 2n-1)
L(n+1) - L(n) = Pi/4
Et donc la série Ln est arithmétique de raison = Pi/4

3)
L1 + L2 + ... + L80 = [(L1 + L80)/2]*80 = 40*(L1 + L80)
L80 = L1 + (79*Pi/4)
L1 + L2 + ... + L80 = 40*(2L1 + (79*Pi/4)) = 80L1 + (790*Pi)
Or L1 =(Pi/8)*(2+1) = (3/8)Pi

L1 + L2 + ... + L80 = 30Pi + 790Pi
L1 + L2 + ... + L80 = 820.Pi
------------------
Cela devient un peu long pour moi, je laisse le reste au suivant.



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