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Niveau première
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Suites numeriques, on est bloqué aidez nous SVP!!!!!!!!!!

Posté par Laurence et Emma (invité) 28-05-03 à 10:44

  Dans un plan muni d'un repère (0 ;i ;j) on considère la parabole
P d'équation y = x². Le but de l'exercice est de calculer l'aire
A du domaine delta limité par la courbe P, l'axe des absisses et
la droite d'équation x = 1.

1) Avec I, J et K de coordonnée respectives (1 ;0) (1 ;1) et (0 ;1),
et en remarquant que le domaine ∆ était inclus dans le rectangle
OIJK, on a prouvé que 0≤A≤1

2) Le domaine ∆ est partagé en deux « tranche » verticale T' et
T'' de meme largeur ½ et d'aires respectives A' et A'' . on a justifier
les encadrements 0≤A'≤1/8, 1/8≤A''≤1/2 et
1/8≤A≤5/8 (par le meme procédé qu'au dessus).

3) soit n > 2
On partage le domaine ∆ en n « tranches verticale » T1, T2, de
largeur 1/n.
On désigne par Ai l'aire de la tranche Ti pour tout entier i compris
entre 1 et n. En encadrant la tranche Ti entre deux rectangle, justifier
que (i-1)²/n³≤ Ai≤ i²/n³ et donc [1² + 2²+ …+(n-1)²]/n³
≤A ≤[1² + 2² + … n²]/n³

4) on désigne par (Un) la suite définie, pour tout entier n≥1,
par Un = [1²+2²+…+ n²]/n³ . En utilisant le resultat de la question
precedente, demontrer que 0≤Un-A≤1/n

5) Le but de cette question est de calculer Un en fonction de n.

a) determiner un polynome P de degres 3 tel que, pour tout réel x, P(x-1)
- P(x) = x². Si vous pouviez mettre les details pour bien comprendre…

b)En ajoutant les égalité obtenues en remplaçant succesivement x par 1,2,
…,n, démontrer que : 1²+2²+…+n² = [n(n+1)(2n+1]/6

c) en déduire que Un = (1/6)(1+1/n)(2+1/n)

6) en déduire la valeur du réel A.

Posté par Guillaume (invité)re : Suites numeriques, on est bloqué aidez nous SVP!!!!!!!!!! 28-05-03 à 12:54

Salut,
Si j'ai bien compris c'est à partir du 3) que vous bloquez..
Le debut en tout cas a l'air bien juste.

3)En fait on remarque que l'aire Ai est comprise entre deux rectangles
dessinables entre les points:
((i-1)/n,0)
(i/n,0)
((i-1)/n,f((i-1)/n))
(i/n, f((i-1)/n))
((i-1)/n, f(i/n))
(i/n,f(i/n))

en calculant les deux aires des rectangles on a
largeur=1/n hauteur= f(i/n) ou f((i-1)/n)
1/n f((i-1)/n)<=Ai<=1/n f(i/n)
1/n (i-1)^2/n^2<=Ai<=1/ni^2/n^2
(i-1)^2/n^3<=Ai>=i^2/n^3

Avec un dessin on comprend bien...



on ecrit cette relation pour i=1 à n
on somme membres a membres
au milieu on a A1+A2+..An=A
et les membres de gauche et de droite donnent

[1² + 2²+ …+(n-1)²]/n³  et[ 1² + 2² + … n²]/n³  
on a donc la relation demandée

4)

On a
[1² + 2²+ …+(n-1)²]/n³  <=A<=[ 1² + 2² + … n²]/n³
A droite c'est Un
A gauche c'est presque Un en fait c'est Un-1/n
(1/n c'est le terme qui manque...)

On a donc
Un-1/n<=A<=Un
soit
-1/n<=A-Un<=0
soit
0<=Un-A<=1/n

5)a)
On cherche P(x)=ax^3+bx^2+cx+d

P(x-1)-P(x)=
a(x-1)^3+b(x-1)^2+c(x-1)+d-ax3-bx2-cx-d=
ax3-3ax2+3ax-1+bx2+b-2bx+cx-c+d-ax3-bx2-cx-d=
-3ax2+3ax-a+b-2bx-c=
-3ax2+(3a-2b)x-c-a+b=
ca doit etre egal a x2
donc -3a=1
a=-1/3
3a-2b=0
donc 2b=3a=-1
b=-1/2
-c-a+b=0
donc c=-a+b=1/3-1/2=-1/6

d est quelconque, on peut prendre 0 si on veut
P(x)=-1/3 x^3 -1/2 x^2 -1/6 x

b)
on a
1^2=P(0)-P(1)
2^2=P(1)-P(2)
...etc
n^2=P(n-1)-P(n)

on somme membre a membre
les P(i) se simplifient presque tous
il reste
1^2+2^2+...n^2=p(0)-P(n)
or p(0)=0 et p(n)=-1/3 n^3 -1/2 n^2 -1/6 n

1^2+2^2+...n^2=-1/3 n^3 -1/2 n^2 -1/6 n
on factorise un peu
=-1/6 *n (2n^2+3n+1)=(-1/6)n(n+1)(-1-2n)=n(n+1)(2n+1)/6

voila


c) comme Un = [1²+2²+…+ n²]/n³
on a Un=n(n+1)(2n+1)/6  / n3
=(n+1)(2n+1)/6 / n2=
(1+1/n)(2n+1) /6 /n=
(1+1/n)(2+1/n)/6

voila

6)on avait
0<=Un-A<=1/n
donc
0<=(1+1/n)(2+1/n)/6-A<=1/n

on fait n tends vers +inf

le centre tend svers 1/3-A
le menbre de droite (1/n) tends vers 0

ca veut forcement dire par encadrement que A c'est 1/3

Voila
si vou savez pas compris répondez...

A+
guillaume



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