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Suites! (svp)
Bonjour a tt le monde voilà encore un exo de suite ce qui n'est pas ma tasse de thé! Un petit peu d'aide me serai la bienvenue!
Donc on considère la suite(Un) définie pour tout entier naturel par
U0 = 1.5
Un+1 = Uncarré - 3Un + 4.
1) Calculer Un+1 - Un ; en déduire que (Un) est croissante puis qu'elle est minorée par 1.
2) montrer que Un+1 - 2 = ((Un)-1)((Un)-2).
3) En déduire par récurrence que Un est inférieur ou égal à 2, pour tout entier n.
4) La suite (Un) est-elle bornée? justifiez!
Merci à tout ceux qui m'aideront!
salut,
1. >0 donc Un est croissante.
Elle est donc minorée par son premier terme Uo > 1; elle est donc minorée par 1.
2.
et
on en déduit:
3. Hypothèse de récurrence: pour tout entier n,
* pour n=0, l'hypothèse est vérifiée.
pour n=1: < 2
La récurrence est donc initialisée.
* supposons que l'hypothèse soit vraie au rang n, cad: , cad
alors, montrons que
Or, d'après (1), Un est minorée par 1, donc pour tout n, Un > 1 et par hypothèse de récurrence:
on en déduit:
d'ou:
La récurrence est héréditaire.
La proposition est donc vérifiée pour tout entier n:
4. La suite est donc bornée par 1 et 2.
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