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Suites : table de Pythagore
On considère la table de Pythagore. Pour k entier naturel compris
entre 1 et n, on note Sk la somme des nombres de la k-ième ligne
et Pk la somme des nombres des cases coloriées d'une même couleur
:
P1 = 1 ; P2 = 2+4+2 ; P3 = 3+6+9+6+3
1. Démontrer que S1 + S2 + ... + Sn = (S1)².
2. a) Vérifier que Pk = 2k(1+ ... + k)-k².
b) Déduisez-en que Pk = k^3.
3. Déduisez des questions précédentes que :
1^3 + 2^3 + ... + n^3 = ((n(n+1))/2)² = (1 + 2 +...+ n)².
Table de Pythagore :
1|2|3|...|n
2|4|6|...|2n
3|6|9|...|3n
n|2n|3n|...|n²
(J'ai trouvé : Sn=n((n(1+n))/2) mais je sais pas trop à quoi ça correspond
!)
En esperant que la reponse t'insteresse encore :
Sn = n + 2n + 3n + ... + n<sup>2</sup>
En mettant n en facteur , on a :
Sn = n(1+2+3+...+n)
1+2+3+ ... +n = n(n+1)/2 (TRES IMPORTANT!!!!)
Donc
Sn = n(n(n+1))/2
S1 = 1 + 2 + 3 + ... + n
S1 = n(n+1)/2
S2 = 2*(1+2+3+...+n)
= 2*(n(n+1)/2)
=2*S1
S3 =3*(1+2+3+...+n)
=3*( n(n+1)/2)
=3*(S1)
...
Sn = n*(1+2+3+...+n) = n*(n(n+1)/2)
=n*S1
S1 = n(n+1)/2
On a S1 + S2 + S3 + ... + Sn
= n(n+1)/2 + 2*(n(n+1)/2) + 3*(n(n+1)/2) + ... + n*(n+1)/2
= S1 + 2*S1 + 3*S1 + ... +n*S1
on met S1 en facteur, et on a S1 + S2 + S3 + ... + Sn
=S1*(1+2+3+...+n)
=S1*(n(n+1)/2)
=S1*S1 = S1<sup>2</sup>
2)
1+2+...+k = k(k+1)/2
Sk = k(k(k+1))/2
Pk = 2*Sk - k<sup>2</sup>
(tu vois tu additionne la meme colone, l'une à l'autre, c'est
donc comme si tu faisais à chaque fois, a+a = 2a, seulement tu auras
un k^2 de trop, donc il faut l'enlever.)
Pk = 2*(k*k*(k+1))/2 - k<sup>2</sup>
=(k+1)*k<sup>2</sup> - k<sup>2</sup>
Or
Pk = 2k(1+2+3+...+n) - k<sup>2</sup>
=2k( k(k+1)/2 ) - k<sup>2</sup>
=k(k(k+1)) - k<sup>2</sup>
= (k+1)*k<sup>2</sup> -k<sup>2</sup>
Donc Pk s'ecrit bien
2k(1+...+k) - k<sup>2</sup>
b)
Pk = (k+1)*k<sup>2</sup> - k<sup>2</sup>
[on met k<sup>2</sup> en facteur]
Pk = k<sup>2</sup>((k+1) - 1 )
=k<sup>2</sup>(k+1-1)
=k<sup>2</sup>(k)
=k<sup>3</sup>
3)
Alors on voit que P1 + P2+ P3 + ... + Pk = S1 + S2 + S3 + ... + Sn
(tu vois, dans les deux cas, tu additionne TOUS les nombres entre eux
)
Pk = k<sup>3</sup>
Donc P1 + P2 + ... + Pk =
1<sup>3</sup> + 2<sup>3</sup> + 3<sup>3</sup> + ... n<sup>3</sup>
ce qui vaut Et P1+P2+...+Pk = S1 + S2 + S3 + ... +Sn
Or S1 + S2+ S3 + ... +Sn = S1<sup>2</sup> = (n(n+1)/2)<sup>2</sup>
Donc 1<sup>3</sup> + 2<sup>3</sup> + ...n<sup>3</sup>
= S1<sup>2</sup> = (n(n+1)/2)<sup>2</sup> = (1+2+3+...+n)<sup>2</sup>
Cordialement 
En esperant que tout est bien formaté!
Ghostux
Bonjour, j'ai déj posté dans une autre partie de forum et on a dis "fais une recherche pour les topic parlant du sujet, j'ai tapé l'expression " ((n(n+1))/2)^2 " et je suis tombé sur ce topic,
j'aimerais bien qu'on maide à résoudre 1^3+2^3+3^3+...+n^3=((n(n+1))/2)^2 , sacahnt que j'ai trouvé le polynome du 4eme degrès, les égalité 1^3+2^3+3^3+...+n^3=R(n+1)-R(n), etc, voilà, j'ai un polynome qui es de la forme
R(x)=1/6x^4-1/3x^3+1/6x+0x+e (e qcq)
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