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Sujet de Bac sur translations et homothéties
Bonjour,
On considère un triangle ABC dans le plan et on note A' B' et C'les milieux respectifs des cotés [BC] [AC] et [AB] puis Ha Hb et Hc les pieds des hauteurs issues respectivement des sommets A B et C. Enfin, on désigne par O, G et H les points de concours respectifs des médiatrices, médianes et des hauteurs du triangle. Soit h l'homothétie de centre G et de rapport -1/2 et h' l'homothétie de centre H et de rapport 1/2.
Droite d'Euler
1) Par h, quelles sont les images des sommets du triangle ABC ?
2) En déduire les images des hauteurs du triangle.
3) Quelle est alors l'image du point H ?
4) Quelle propriété géométrique, les points O, G et H vérifient-ils ?
Cercle d'Euler
1) Par h, quelle est l'image de C' du cercle C circonscrit au triangle ABC, On note Ω son centre.
2) Montrer que Ω est le milieu du segment [OH] et que C' passe par les milieux des cotés de ABC.
3) Justifier que C a la même image par h et par h'.
4) Démontrer que Ω appartient à la médiatrice du segment [A'Ha] et en déduire que les pieds des hauteurs appartiennent à C'.
5) Quelles sont les images des sommets du triangle par h' ?
6) Expliquer pourquoi le « cercle d'Euler » est aussi appelé « cercle des 9 points ».
Je n'arrive pas du tout à faire cette exercice. Personnellement je n'ai déjà pas compris le chapitre alors faire cette exercice type BAC m'est totalement impossible...
Aidez moi s'il vous plait.
Merci.
Bonsoir,
je veux bien essayer de t'aider sur ce que je sais faire et c'est intéressant comme pb. Mais clairement je pourrais pas finir ce soir. C'est à rendre pr qd ce devoir ?
Pr lundi, ça devrait aller, si je sais...
Allez on commence (ça sera au compte-gouttes, dsl..)
QA1/
1) Par h, quelles sont les images des sommets du triangle ABC ?
[AA'] est la médiane du trg ABC issue de A et passant (comme les 2 autres médianes) par G, centre de l'homothétie h.Les points A', G et A sont alignés sur la médiane [A'A] et on a dc
Les points A', G et A étant alignés ds cet ordre, cela peut s'écrire vectoriellement
On écrit h(A) = A'. par un raisonnement identique, on conclut h(B) = B' et h(C) = C'.
D'accord ?
2) En déduire les images des hauteurs du triangle.
Ds ton cours tu as du apprendre que l'image d'une droite par une homothétie est une droite parallèle à la droite "antécédent".
Pr la hauteur [AHa], on sait que h(A) = A', dc l'image de cette hauteur passe par A' (milieu de [BC]) et est // à (AHa) ; or (AHa)
(BC) puisque elle "porte' la hauteur issue de A du trg ABC ; dc tte droite // à cette hauteur est aussi (BC). Or la droite qui passse par A' et (BC) est la médiatrice de [BC].
Conclusion : l'image de la hauteur [AHa] par h se porte sur la médiatrice de [BC].
Un raisonnement identique permet de conclure que :
- l'image de la hauteur [BHb] par h se porte sur la médiatrice de [AC].
- l'image de la hauteur [CHc] par h se porte sur la médiatrice de [AB].
3) Quelle est alors l'image du point H ?
H étant le point de concours des 3 hauteurs du trg ABC, et leurs images resp. par h étant les 3 médiatrices du trg ABC qui concourent en O, on en conclut que h(H) = O
4) Quelle propriété géométrique, les points O, G et H vérifient-ils ?
h(H) = O
- colinéaires
- de même origine G
on en conclut que les points O, G et H sont alignés, en l'occurrence sur une droite qui est la droite d'Euler.
Ca va tt ça ? ce sera tt pr ce soir ; à demain
bonne réflexion ; buona notte
Allez, on reprend, j'ai une bonne heure devant moi..
1) Par h, quelle est l'image de C' du cercle C circonscrit au triangle ABC, On note Ω son centre.
On a vu (Q1 de la 1ère partie), que h(A) = A', h(B) = B', h(C) = C'
On sait par aulleurs (tm du cours) que l'image , par une homothétie, d'un cercle est un autre cercle, dt le centre est l'image par h du centre du cercle "antécédent", de rayon r'=|k|.r, r étant le rayon du cercle "antécédent) et k le rapport de l'homothétie.
Dc ici k = 1/2 |k| = 1/2
et C' est le cercle de centre
=h(O), passant par A', B' et C'. On en conclut que :
C' est le cercle circonscrit au trg A'B'C', et que
= h(O) est le point de concours des 3 médiatrices de ce trg.je continue.
2) Montrer que Ω est le milieu du segment [OH] et que C' passe par les milieux des cotés de ABC.
Ω est le milieu du segment [OH]
On a établi que :
et
On soustrait membre à membre ces 2 égalités (celles des 2ème membres des équivalences), on obtient :
et h sont alignés, et comme le coeff. de colinéarité est 1/2, cela prouve que est le milieu de [OH].
Qt à prouver que (C') passe par A', B' et C', les milieux des 3 côtés du trg ABC, j'y ai de fait déjà répondu ds la Q1 (dc adapte les réponses).
J'essaye de t'envoyer un schéma pr que tu suives mieux mes explications.
3) Justifier que C a la même image par h et par h'.
h' est l'homothétie de centre H et de rapport 1/2. Les points caractéristiques connus du cercle c sont son centre O et les 3 points A, B et C.
Soit Mo l'image de O par h'.
est le milieu de [OH], dc h'(O)=, soit l'image du centre du cercle C par h' est la même que celle de ce centre par h.
Soit Ma l'image de A (point du cercle C) par h'. Montrons que Ma est sur le cercle C', image du cercle C par h.
étant le milieu de [HO]
je rappelle que
1/
est l'image de O par h, dc 2/ G étant le cdg du trg ABC,
De
Les vecteurs
ayant même origine et même norme, et
étant le centre du cercle C', on en concclut que Ma, image de A par h', appartient au cercle C'.
En tenant un raisonnement analogue pr les points B et C du cercle C, on démontre que l'image du cercle C par h' est le cercle C', qu est aussi, on l'a vu précédemment, l'image du cercle C par h
Voilà comment je répondrais à cette question, et je te dis à demain
4) Démontrer que Ω appartient à la médiatrice du segment [A'Ha] et en déduire que les pieds des hauteurs appartiennent à C'.
On vient d'établir que
Ds le trg A'Ma Ha (rtg en Ha; en rouge sur le schéma)), on a
milieu de [Ma A'].
On a aussi [A' Ha]
(BC), dc la médiatrice de [A' Ha], perpendiculaire à (BC), est parallèle à (Ha Ma), support de la hauteur issue de A du trg ABC, dc perpendiculaire à (BC) aussi. par définition, cette médiatrice passe par le milieu de [A' Ha], dc elle coupe le côté [A' Ma] du trg A'Ma Ha en son milieu, en l'occurence , centre du cercle C' ;( c'est le principe des droites des milieux ds le trg, ou la réciproque du tm de Thalès appliquée au trg).
Conclusions :
1/
Médiatrice de [A' Ha]
2/ dc
A' = Ha, avec A' Cercle C'
par conséquent Ha
C'.
un raisonnement similaire permet de conclure que hb
C' et Hc C'
5) Quelles sont les images des sommets du triangle par h' ?
L'image de A par l'homothétie h' est le point M tel que h'(A) = M, soit
Par un raisonnement similaire, on établit que h'(B)=Mb et h'(C) = Mc, tous points du cercle C' (Cf Q3 message du 08 05 ; 19 h 09).
Dc les images des sommets du triangle ABC par h' sont les points d'intersections des hauteurs avec le cercle C' qui ne sont pas les pieds de ces hauteurs (eux aussi sur C' comme on l'a montré à la Q4)
6) Expliquer pourquoi le « cercle d'Euler » est aussi appelé « cercle des 9 points ».
On a établi que le cercle C' passe par :
-les 3 pieds des hauteurs du trg ABC (Q4)
- les 3 pieds des médianes/médiatrices du trg ABC (Q2)
- les 3 images du trg ABC par l'homothérie qui transforme le centre O du cercle circonscrit au trg ABC en le centre
du cercle d'Euler C' (Q5 et 3)
soit 9 points caractéristques de cette construction
Voilà, p.e. que je termine trop tard mais ds la mesure du possible j'aime bien terminer ce que je commence sans bâcler , et surtt j'espère que ça t'aura un peu aidé
Ciao !
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