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Svp c est imortant
bonjour, j'ai un Dm à rendre merci de m'aider car je n'y arrive pas:
Soient (Un) et (Vn) les suites définies par
{U0=0
{Vo=1
{Un+1=(3Un+Vn)/4 et Vn+1=(Un+Vn)/2 pour n
0
1. a) Représenter sur un axe gradué ( unité:15cm) les 4 premiers termes de chaque suite.
b) Vérifier que, pour tout n, Vn+1 est le centre de l'intervalle [Un;Vn] et U[/sub]n+1 celui de l'intervalle de [Un;V[sub]n+1]
2. On pose Wn=Vn-Un pour tout n0.
a) Montrer que (Wn) est une suite géométrique dont on précisera la raison.
b) En déduire qu'on a U[/sub]n+1=U[sub]n+1/(4[/sup]n+1 puis que U[/sub]n= (1-(1/4[sup]n))/3 pour tout n0
c) Exprimer V[sub]n en fonction de n.
3.Déterminer le sens de variation des suites (U[/sub]n) et (V[sub]n).
4. Montrer qu'on a V[/sub]nU[sub]n pour tout n
.
5. a) Calculer des valeurs approchées à 10[sup][/sup]-6 près de U[/sub]5 et V[sub]5 puis de U[/sub]10 et V[sub]10.
b) Quel semble être le comportement de ces deux suite lorsque n devient très grand? Comment l'expliquer?
1)
a)
U0 = 0
V0 = 1
U1 = (3U0 + V0)/4 = 1/4
V1 = (U0 + V0)/2 = 1/2
U2 = (3U1 + V1)/4 = 5/16
V2 = (U1 + V1)/2 = 3/8
U3 = (3U2 + V2)/4 = 21/64
V3 = (U2 + V2)/2 = 11/32
U4 = (3U3 + V3)/4 = 85/256
V4 = (U3 + V3)/2 = 43/128
Je te laisse les placer sur l'axe gradué.
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b)
Le centre de [U0 ; V0] est (0 + 1)/2 = 1/2 qui vaut bien V1
Le centre de [U1 ; V1] est ((1/4) + (1/2))/2 = 3/8 qui vaut bien V2
Le centre de [U2 ; V2] est ((5/16) + (3/8))/2 = 11/32 qui vaut bien V3
...
Le centre de [U0 ; V1] est (0 + (1/2))/2 = 1/4 qui vaut bien U1
Le centre de [U1 ; V2] est ((1/4) + (3/8))/2 = 5/16 qui vaut bien U2
Le centre de [U2 ; V3] est ((5/16) + (11/32))/2 = 21/64 qui vaut bien U3
...
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2)
a)
W(n)=V(n)-U(n)
W(n+1)=V(n+1)-U(n+1)
W(n+1)=(U(n)+V(n))/2 - (3U(n)+V(n))/4
W(n+1)= [(2U(n)+2V(n)) - (3U(n)+V(n))]/4
W(n+1)= (-U(n)+V(n))/4
W(n+1)= (1/4).W(n)
Et donc Wn est une suite géométrique de raison 1/4
W(0) = V(0) - U(0) = 1
-> W(n) = V(n)-U(n) = (1/4)^n
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b)
Il doit y avoir une erreur d'énoncé dans ce point, vérifie.
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Sauf distraction. 
exacte je me suis trompé
c'est 2)b. en déduire qu'on a Un+1=Un+(1/4[/sup]n+1) puis que Un= (1-(1/4[sup]n))/3 pour tout n0
merci de bien vouloir m'aider mais je n'arrive toujours pas aux quetions 3 4 et 5
2)
b)
U(n+1) =(3U(n)+V(n))/4
4.U(n+1) = 3U(n)+V(n) (1)
W(n) = V(n) - U(n) (2)
(1) - (2) ->
4.U(n+1) - W(n) = 3U(n)+V(n) - V(n) + U(n)
4.U(n+1) - W(n) = 4.U(n)
4.U(n+1) = W(n) + 4.U(n)
U(n+1) = (1/4).W(n) + U(n)
et avec W(n) = (1/4)^n ->
U(n+1) = (1/4).(1/4)^n + U(n)
U(n+1) = U(n) + (1/4)^(n+1)
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je ne cherche pas mais on devrait arriver à:
U(n) = (1 - (1/4)^n)/3 (bien différent de nouveau de ce que tu as écrit).
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c)
W(n) = V(n) - U(n)
(1/4)^n = V(n) - [(1 - (1/4)^n)/3]
V(n) = [(1 - (1/4)^n)/3] + (1/4)^n
----------
3)
U(n) = (1 - (1/4)^n)/3
U(n) = (1/3) - (1/3).(1/4)^n
U(n+1) = (1/3) - (1/3).(1/4)^(n+1)
U(n+1) - U(n) = - (1/3).(1/4)^(n+1) + (1/3).(1/4)^n
U(n+1) - U(n) = (1/3).(1/4)^n.(1 - (1/4))
U(n+1) - U(n) = (1/4).(1/4)^n
U(n+1) - U(n) = (1/4)^(n+1)
U(n+1) - U(n) > 0
U(n+1) > U(n)
et donc Un est croissante.
---
V(n) = [(1 - (1/4)^n)/3] + (1/4)^n
V(n+1) = [(1 - (1/4)^(n+1)/3] + (1/4)^(n+1)
V(n+1) - V(n) = (1/3) - (1/3).(1/4)^(n+1) + (1/4)^(n+1) -(1/3) + (1/3).(1/4)^n - (1/4)^n
V(n+1) - V(n) = (1/3).[(1/4)^(n) .(1 - (1/4))] - (1/4)^n .(1 - (1/4))
V(n+1) - V(n) = (1/4).(1/4)^(n) - (3/4).(1/4)^n
V(n+1) - V(n) = -(1/2).(1/4)^(n)
V(n+1) - V(n) < 0
V(n+1) < V(n)
et donc Vn est décroissante.
---------
4)
W(n) = (1/4)^n et donc W(n) > 0 pour tout n de N
->
V(n) - U(n) > 0 pour tout n de N
V(n) > U(n) pour tout n de N
----------
5)
a)
U(5) = 0,333008
V(5) = 0,333984
U(10) = 0,333333
V(10) = 0,333334
---
b)
Les suites Un et Vn convergent vers 1/3
Explications:
Comme on a Un est croissante et Vn décroissante et que pour tout n de N, V(n) > U(n), les suites Un et Vn sont adjacentes.
Elle convergent donc vers une même limite.
On calcule cette limite par : lim(n->oo) U(n) = lim(n->oo) [(1/3) - (1/3).(1/4)^n] = 1/3
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Sauf distraction.
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