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Symétrie orthogonale 4

Posté par
Othnielnzue23 27-05-20 à 23:43

Bonsoir ,j'ai besoin d'aide.

Merci d'avance.

Le plan est muni d'un repère orthonormé (O,I,J) .

Soit le point A(-2;3) et (D) la droite d'équation y=x.

1) Soit S_{(OI)} et S_{(OJ)} les symétries orthogonales d'axes respectifs (OI) et (OJ).

Déterminer les coordonnées des points B et C images respectives de A par S_{(OI)} et S_{(OJ)}.

2) Soit S_{(D)} la symétrie orthogonale d'axe (D).

Soit M(x;y) et M'(x';y') son image par S_{(D)}


a) Justifier que \begin{cases} x'=y \\ y'=x \end{cases}

b) En déduire les coordonnées du point D image de A par S_{(D)}.

Posté par
Othnielnzue23re : Symétrie orthogonale 4 28-05-20 à 10:26

Bonjour ,

J'ai placé le point A (-2;3) dans un repère (O,IJ) , je trouve que :

B(-2;-2) et  C(2;3)

Comment trouver cela par des calculs ?

Posté par
Othnielnzue23re : Symétrie orthogonale 4 28-05-20 à 10:26

*B(-2;-3)

Posté par
mathafou Moderateurre : Symétrie orthogonale 4 28-05-20 à 11:11

Bonjour

il est tout de même de connaissance basique sur les repères (orthonormés) en général que le symétrique d'un point par rapport à l'axe des ordonnées a même ordonnée que ce point et une abscisse opposée ...
et de même avec l'axe des abscisses.

à part cela il n'y a donc aucun calcul à faire. à moins de vouloir diluer à l'extrême le raisonnement :
l'égalité des ordonnées est de toute façon de la pure définition, que AC est perpendiculaire à l'axe des ordonnées et donc parallèle à l'axe des abscisses donc y' = y
et la formule du milieu (x+x')/2 or ce milieu appartient à l'axe (Oj), donc abscisse nulle donc x' = -x

ce principe de calcul :
MM' perpendiculaire à l'axe de la symétrie et milieu de MM' sur l'axe
sera à généraliser si l'axe de la symétrie n'est pas un axe des coordonnées (question d'après)
• comment traduit on une orthogonalité sur des coordonnées ? (c'est à dire en vecteurs)
• formule du milieu de MM'
et après on résout ça comme un système en les inconnues x' et y'.

Posté par
Othnielnzue23re : Symétrie orthogonale 4 28-05-20 à 16:37

D'accord ,

1) S_{(OJ)}(A)=C

==> \vec{AC} \vec{OJ} et \vec{AC} et \vec{OI} sont non nuls et colinéaires.

==> y_{C}=y_{A} et \dfrac{x_{A}+x_{C}}{2}=0

==> y_{C}=y_{A} et x_{C}=-x_{A}

==> C(2;3)

S_{(OI)}(A)=B

==>\vec{AB} et \vec{OJ} sont non nuls et colinéaires et \vec{AB} \vec{OI}

==>\dfrac{x_{A}+x_{B}}{2}=\dfrac{-2+(-2)}{2}=-2 et y_{B}=-y_{A}


==> B(-2;-3)


2)
Soit (D') la droite d'équation x=-y  et \vec{u} un vecteur directeur de la droite (D) et \vec{u'} un vecteur directeur de la droite (D')

a- S_{(D)}(M)=M'

==> \vec{MM'} \vec{u} et \vec{MM'} et \vec{u'} sont non nuls et colinéaires.

==> \dfrac{x_{M}+x_{M'}}{2}=x_{M}=x_{M'} et y_{M'}=y_{M}

==> \begin{cases} x'=x \\ y'=y\end{cases}

D'accord ,

1) S_{(OJ)}(A)=C

==> \vec{AC} \vec{OJ} et \vec{AC} et \vec{OI} sont non nuls et colinéaires.

==> y_{C}=y_{A} et \frac{x_{A}+x_{C}}{2}=0

==> y_{C}=y_{A} et x_{C}=-x_{A}

==> C(2;3)

S_{(OI)}(A)=B

==>\vec{AB} et \vec{OJ} sont non nuls et colinéaires et \vec{AB} \vec{OI}

==>\dfrac{x_{A}+x_{B}}{2}=\dfrac{-2+(-2)}{2}=-2 et y_{B}=-y_{A}


==> B(-2;-3)


2)
Soit (D') la droite d'équation x=-y  et \vec{u} un vecteur directeur de la droite (D) et \vec{u'} un vecteur directeur de la droite (D')

a- S_{(D)}(M)=M'

==> \vec{MM'} \vec{u} et \ec{MM'} et \vec{u'} sont non nuls et colinéaires.

==> \dfrac{x_{M}+y_{M'}}{2}=x_{M'} et y_{M'}=x_{M}

==> \begin{cases} x'=y \\ y'=x\end{cases}


b) S_{(D)(A)=D

==>D(3;-2)

Posté par
Othnielnzue23re : Symétrie orthogonale 4 28-05-20 à 16:41

Citation :
\\ ==> \dfrac{\red{x}_{M'}+\red{y}_{M}}{2}=x_{M'}

Posté par
mathafou Moderateurre : Symétrie orthogonale 4 28-05-20 à 19:37

quelle salade ...c'est tout ce qu'il y a à en dire .
même pas envie d'en lire quoi que ce soit.

question 1 : baratin TOTALEMENT INUTILE
la 1 est EVIDENTE sans aucun calcul du tout

y mettre ce que tu as mis est très exactement ce qu'il ne faut pas faire :
diluer le raisonnement pour le rendre illisible

Citation :
il est tout de même de connaissance basique sur les repères (orthonormés) en général que le symétrique d'un point par rapport à l'axe des ordonnées a même ordonnée que ce point et une abscisse opposée ...
et de même avec l'axe des abscisses.

à part cela il n'y a donc aucun calcul à faire. à moins de vouloir diluer à l'extrême le raisonnement


quant à la 2 ce que tu as écrit est uniquement du bourrage de mou pour juste se faire plaisir à écrire du LaTeX et rigoureusement rien d'autre

droite D' totalement inutile

soit u un vecteur directeur ...
que du baratin. En exhiber un explicite, valeurs numériques explicites de coordonnées explicites d'un tel vecteur point barre
et puis l'utiliser explicitement dans une égalité explicite et pas un vague baratin tiré d'une récitation de cours
sinon (sans cette utilisation explicite de ce vecteur directeur là) tu n'as rigoureusement RIEN démontré du tout.

poubelle et à refaire.

Posté par
malou Webmasterre : Symétrie orthogonale 4 29-05-20 à 09:20

Bonjour à vous deux
bon, dit plus brièvement et sans couleurs
Othnielnzue23, je t'ai déjà dit et mathafou te le redit, inutile de se gargariser de Ltx pour passer le temps, on préfère un bon raisonnement qui débouchera sur un calcul. Mais le raisonnement prime.

Citation :
MM' perpendiculaire à l'axe de la symétrie et milieu de MM' sur l'axe
sera à généraliser si l'axe de la symétrie n'est pas un axe des coordonnées (question d'après)
• comment traduit on une orthogonalité sur des coordonnées ? (c'est à dire en vecteurs)
• formule du milieu de MM'
et après on résout ça comme un système en les inconnues x' et y'.


et cela peut se dire en une phrase : je caractérise géométriquement mon application et ensuite je fais les calculs induits.
Tant que tu ne fais pas ça (c'est ce qui est enseigné quand on est scolarisé), tu es à côté de la plaque...

Posté par
Othnielnzue23re : Symétrie orthogonale 4 29-05-20 à 10:22

Bonjour,

D'accord

1) S(OI)(A)=B

==> B(-2;-3)

Et S(OJ)(A)=C

==> C(2;3)

2)

a- Je ne comprends pas

Posté par
malou Webmasterre : Symétrie orthogonale 4 29-05-20 à 10:34

1) OK
2) évidemment si tu veux le résultat déjà écrit, je comprends que tu ne comprennes pas

Citation :

Soit M(x;y) et M'(x';y') son image par S_{(D)}

tu dois trouver le moyen de transcrire cette phrase française en 2 phrases mathématiques.
M(x;y) et M'(x';y') son image par S_{(D)} équivaut à dire : \left\lbrace\begin{matrix} \dots\\ \dots \end{matrix}\right.

tant que cela n'est pas fait, inutile de poursuivre, c'est ça qu'on attend d'un élève

Posté par
Othnielnzue23re : Symétrie orthogonale 4 29-05-20 à 10:39

Ben ...

\left\lbrace\begin{matrix} \ x'=y\\ \ y'=x \end{matrix}\right.

Posté par
malou Webmasterre : Symétrie orthogonale 4 29-05-20 à 10:52

non
je te montre un exemple (avec quelque chose qui n'a rien à voir avec ton exo)

N'=T_\vec{AB}(N) équivaut à dire \vec{NN'}=\vec{AB}

eh bien tu dois faire le même travail pour caractériser ta symétrie

Posté par
Othnielnzue23re : Symétrie orthogonale 4 29-05-20 à 10:57

Ah d'accord

S_{(D)}M=M'

<==> \vec{MI}=\vec{IM'}

Avec I le milieu de [MM']

Posté par
malou Webmasterre : Symétrie orthogonale 4 29-05-20 à 10:59

faux, et ne réponds pas, je ne comprends pas...fais des dessins, fais ce que tu veux, mais cherche ! c'est ton boulot d'élève

Posté par
mathafou Moderateurre : Symétrie orthogonale 4 29-05-20 à 11:46

surtout que il suffit de lire mon message du 28-05-20 à 11:11
re-redite car déja cité par malou :

mathafou le 28-05-20 à 11:11

MM' perpendiculaire à l'axe de la symétrie et milieu de MM' sur l'axe
...
• comment traduit on une orthogonalité sur des coordonnées ? (c'est à dire en vecteurs)
• formule du milieu de MM'
et après on résout ça comme un système en les inconnues x' et y'.

faudrait deja les écrire, ces coordonnées du vecteur \vec{MM'} et d'un vecteur directeur de (d) !!
puis réviser son cours sur la condition d'orthogonalité de deux vecteurs
(et comment écrit on qu'un point est sur une droite d'équation connue ... ! )

on obtient un système de deux équations :
l'une traduisant la condition d'orthogonalité
l'autre la condition d'appartenance du milieu à la droite (d)

Posté par
Othnielnzue23re : Symétrie orthogonale 4 29-05-20 à 12:27

M(x;y) et M'(x';y') <==>

\vec{MM'}(x'-x;y'-y)

Soit \vec{u} un vecteur directeur de la droite (D) et \vec{u}(2;2)

Or deux vecteurs u(x ; y) et v(x' ; y') sont orthogonaux si et seulement si x.x' + y.y' = 0...


S_{(D)}M=M'

==> \vec{MM'} et \vec{u} sont orthogonaux

==> 2(x'-x)+2(y'-y)=0

Posté par
mathafou Moderateurre : Symétrie orthogonale 4 29-05-20 à 12:46

oui ceci est une des deux conditions

2(x'-x)+2(y'-y)=0
que l'on peut immédiatement simplifier par 2 :

(x'-x) + (y'-y) = 0
(simplification qui aurait été inutile si on avait choisi parmi les vecteurs directeurs de (d) le plus simple : (1; 1) !!! )

le milieu appartient à d maintenant : ...

Posté par
Othnielnzue23re : Symétrie orthogonale 4 29-05-20 à 12:52

S(D)M=M'

<==> \dfrac{x_{M}+x_{M'}}{2}=0

Posté par
malou Webmasterre : Symétrie orthogonale 4 29-05-20 à 12:56

1) n'utilise pas le signe équivalent, tu ne sembles pas savoir ce qu'il signifie
2) je ne vois pas pourquoi cela ferait 0, relis la condition en Français

Posté par
mathafou Moderateurre : Symétrie orthogonale 4 29-05-20 à 13:00

Non

coordonnées complètes du milieu

condition sur SES coordonnées (les deux) pour que ce point appartienne à la droite d d'équation connue
(et ce n'est certainement pas "son abscisse est nulle " !!)

Posté par
Othnielnzue23re : Symétrie orthogonale 4 29-05-20 à 13:10

Citation :
2) je ne vois pas pourquoi cela ferait 0, relis la condition en Français


Quelle condition ?

Posté par
Othnielnzue23re : Symétrie orthogonale 4 29-05-20 à 13:11

Je sais que S(D)M=M'

==> Le milieu de [MM'] est sur (D)

Posté par
mathafou Moderateurre : Symétrie orthogonale 4 29-05-20 à 13:26

celle là.
il faut juste la traduire correctement !

les coordonnées du milieu I de MM' sont ... xi = ... et yi = ..

la condition pour que ce point (xi; yi) appartienne à D d'équation ... est ...
ce qui donne ... (avec des x, y, x', y')

puisque tu es incapable de le faire autrement que si on te mâche tout avec des phrases à trous

Posté par
Othnielnzue23re : Symétrie orthogonale 4 29-05-20 à 13:45

Désolé

x_{i}=\dfrac{x_{M}+x_{M'}}{2} et y_{i}=\dfrac{y_{M}+y_{M'}}{2}

Posté par
mathafou Moderateurre : Symétrie orthogonale 4 29-05-20 à 14:11

y a pas de x_M
ça sécrit \Large x tout court
et x_{M'} ça s'écrit \Large x' tout court etc

et pas fini :
tu n'as fait que le premier des "trous"

Posté par
Othnielnzue23re : Symétrie orthogonale 4 29-05-20 à 14:32

la condition pour que ce point (xi; yi) appartienne à D d'équation y=x est xi=(x+x')/2 et yi=(y+y')/2
ce qui donne   I((x+x')/2 ; (y+y')/2)

Posté par
mathafou Moderateurre : Symétrie orthogonale 4 29-05-20 à 15:03

du total n'importe quoi

la condition pour que le point (xi; yi) appartienne à la droite d'équation y = ax + b est yi = a xi + b !!!
ici avec la droite d d'équaton y = x, c'est yi = xi

c'est à dire :
(y+y')/2 = (x+x')/2
ou encore
y+y' = x+x'

donc maintenant que je t'ai tout fait (!!!!!) relire le plan général d'action (de tout ce qu'il y avait à faire, ce n'est pas fini) de

mathafou le 28-05-20 à 11:11

MM' perpendiculaire à l'axe de la symétrie et milieu de MM' sur l'axe
...
• comment traduit on une orthogonalité sur des coordonnées ? (c'est à dire en vecteurs)
• formule du milieu de MM'

fait . on en est là

et après on résout ça comme un système en les inconnues x' et y'. à faire


on a donc un système de deux équations à deux inconnues qui sont x' et y'

\left\{\begin{array}l (x'-x) + (y'-y) = 0 \; \; \; traduisant \; MM' \perp d \\ y+y' = x+x' \; \; \; traduisant\; le\; milieu\; de\; MM' \in d}\end{array}\right.

il faut le résoudre  pour obtenir :
x' en fonction de x et y seulement
y' en fonction de x et y seulement

résoudre ça veut dire trouver les inconnues x' et y' en fonction de ce qu'on connait, à savoir x et y (en littéral)
en utilisant les méthodes classiques de résolution de systèmes :
substitutions, ou bien combinaisons

Posté par
Othnielnzue23re : Symétrie orthogonale 4 29-05-20 à 18:11

J'ai utilisé la méthode de combinaisons...

\begin{cases}  (x'-x)+(y'-y)=0 \\   y+y'=x+x' \end{cases}

<==>

\begin{cases}  (x'-x)+(y'-y)=0 \\   (y+y')-(x+x')=0 \end{cases}

<==>

\dfrac{\dfrac{(-x+x')+(-y+y')=0}{+(x+x')+(-y-y')=0}}{=0+2x-2y+0=0}

2x'-2y=0

<==> x'=y

Je remplace x' par y dans l'une des équations du système.

(y-y')-(x+x')=0

<==> (y-y')-(x+y)=0

<==> y+y'=x+y

<==> y'=x

==> \begin{cases}  x'=y \\   y'=x \end{cases}

Merci

Posté par
mathafou Moderateurre : Symétrie orthogonale 4 29-05-20 à 18:51

oui. (se relire, un "prime" oublié à la frappe)

Posté par
Othnielnzue23re : Symétrie orthogonale 4 29-05-20 à 19:20

Oui , à la 4e ligne de mon poste

Merci beaucoup


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