Salut Mikomaria,

J'ai beau chercher avec les identités, faire des combinaisons, je ne trouve rien. Tu es sur que c est un excercice de niveau terminale? A quel chapitre se rapporte cet exercice?

Approche non satisfaisante :


3a² + b² = 27  (1)
b² + bc + c² = 48  (2)
c² + 3ca + 3a² = 75  (3)

(1) --> a = V(27 - b²)/V3 (4)

(4) dans (3) -->

c² + V3.c*V(27 - b²) + (27-b²) - 75 = 0

c = [-V3*V(27 - b²) + V(3.(27-b²) - 4*((27-b²)-75))]/2

c = [-V3*V(27 - b²) + V(300 - 27 + b²)]/2

c = [-V3*V(27 - b²) + V(273 + b²)]/2 (5)
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(2) ---->
c² + bc + b²-48 = 0

c = [-b + V(b²-4(b²-48))]/2
c = [-b + V(192-3b²)]/2  (6)
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(5) et (6) --->

-V3*V(27 - b²) + V(273 + b²) = -b + V(192-3b²)  (7)

-V(81 - 3b²) + V(273 + b²) = -b + V(192-3b²)


f(b) = -V3*V(27 - b²) + V(273 + b²) + b - V(192-3b²) (avec b dans ]0 ; V27]
f(b) est la somme de 4 fonctions croissantes, f(b) est donc croissante.
f(0) < 0 et f(V27) > 0 ---> il y a une et seule valeur de b solution de f(b) = 0 ... et donc de l'équation (7).
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On peut approcher la valeur de b par approx successives, on arrive à : b = 3,1266635...

et en déduire a par (4) : a = 2,3961077...
et c par (6) : c = 4,8138165...

C'est le seul triplet solution du système.

Et si on calcule : 2ab + bc + ca, on trouve : 41,569219381... qui "semble" bien valoir 24.V3
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Mais ce n'est pas satisfaisant puisque cela n'a pas permis de prouver que 2ab + bc + ca = 24.V3 exactement.

Cela montre seulement qu'il est très "probable" que la relation à vérifier soit exacte.

Reste à trouver l'astuce pour résoudre l'exercice de manière rigoureuse.
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1) Réponse à Jerem80:

Merci à ton intérêt porté pour ce problème. Le classement en niveau
T^ale doit être compris comme
« faisant appel à une culture mathèmatique inférieure ou égale au niveau TS »... De toute façon cet exercice
non-standard échappe à tout classement raisonné selon les chapitres du programme du lycée...On est en vacances n'est-ce-pas?

2) Réponse à J-P:

Merci pour cette jolie approche numérique du problème. Ce qui malhereusement ne nous pousse pas très loin...Afin de découvrir
« l'astuce » pour une démonstration rigoureuse, j'avais essayé  auparavant de m'inspirer ( sans résultat...) de la solution d'un problème-jumeau,à savoir:

Soient a, b , tels, que
a³ - 3ab² = 29, et
b³ - 3a²b = 34.

Montrer que: a² + b² = ∛1997 .

Pour démontrer ceci il « suffit » de « remarquer » que:

( -a³-3a²b+3ab²+b³+5)(-a³-3a²b+3ab²+b³-5 ) = ( a²+b² )³ - 2( a³ - 3ab² )( b³ - 3a²b ) - 25  [*]

Puisque selon les conditions de l'exercice on a

-a³-3a²b+3ab²+b³-5 = -29 + 34 - 5 = 0, le côté gauche de l'identité [*] est nul.

Quant au côté droit, on obtient:

( a²+b² )³ - 2∙29∙34 - 5 = ( a²+b² )³ - 1997 .

Donc

0 = ( a²+b² )³ - 1997,  d'où   a² + b² = ∛1997 .


Peut-être quelqu'un en s'inspirant de l'identité [*] en inventera une pour notre exercice?

bien à tous,

< mikomaria >.

Salut Mikomaria

J ai cherché tres longtemps et je ne tombe sur aucun resultat. Disons que je me suis inspiré de la methode que tu as indiquee et je pense que ca doit etre la solution, mais je suis pas arrivé au bout. J explique comment je suis parti:
En remarquant que 75=27+48, je me suis servi de l identité remarquable (x+y)(x-y)=x^2-y^2:

(3a2 + b2 + b2 + bc + c2 + c2 + 3ca + 3a2).(3a2 + b2 + b2 + bc + c2 - c2 - 3ca - 3a2)= (3a2 + b2 + b2 + bc + c2)^2 - (c2 + 3ca + 3a2)^2

Il faudra alors constater que le premier membre est nul et developper le deuxieme membre (=expression 1).

Le travail consiste ensuite a faire toutes les combinaisons de produits des differents termes qu'on nous donne et essayer de trouver une combinaison qui permette de retomber sur le deuxieme terme calculé ci-dessus (expression 1). Dans cette combinaison doit figurer le terme a trouver au carré ((2ab + bc + ca)^2)

Malheureusement, je n arrive pas a trouver cette combinaison.

Si quelqu un le trouve, svp, pouvez vous le mettre sur ce forum?

Salut Jerem80,

J'avais fait exactement la même chose... A ce moment sans résultat. C'est d'ailleurs la raison pour laquelle j'ai décidé de soumettre le problème au forum. C'est bien dommage, que cet exercice ( publié en 1985 sans corrigé ), à mon avis très intéressant, ne suscita l'intérêt que de 2 lecteurs...Visiblement on aime ici ( sur l'Ile des Maths ) que des sujets-types...J'encourrage donc toute personne qui lira ce message à nous aider à trouver le « truc »!

Bonsoir !

Citation :
Pour démontrer ceci il « suffit » de « remarquer » que:

Réponse à Misto:

Oui, d'accord, mais...il faut svoir que le problème dont je cite la solution fut imposé dans un des lycées dans le cadre d'un concours interne permanent, qui consiste à resoudre à domicile chaque semaine UN exercice original proposé et acumuler ainsi des points. Le gagnant est celui qui arrive en tête du classement.
Et, de plus, à mon avis, un forum d'échanges d'idées en mathématiques ne devrait pas forcément devenir un centre d'entraide et de soutien scolaire ainsi qu'un tableau d'affichage de sujets-types à resoudre selon des algorithmes bien définis. Pour cela il y a une multitude de manuels...Il est trop facile d'envoyer sur le Web un sujet de «  devoir pour demain » parce qu'on a la paresse d'effectuer quelques recherches dans des publications appropriées. L'art des mathématiques c'est l'art du raisonnement, et donc l'art passionnant de DÉCOUVRIR un astuce, un « truc » pour l'effectuer. Les problèmes qui ne demandent pas cet effort ne sont point dignes d'intérêt au forum public...

Bonjour,

Je pense avoir trouvé une preuve:
Pour plus de lisibilité, j'ai noté les 3 équations du système (1), (2) et (3):
(1) : 3a² + b² = 27
(2) : b² + bc + c² = 48
(3) : c² + 3ac + 3a² = 75

Et A = 2ab + bc + ca (la quantité que l'on cherche)

En suivant le même principe que l'exemple, je me suis rendu compte que:
(3) - (2) - (1) = 0    (75-27-48 = 0)

J'ai donc développé:
((3)-(2)-(1))² = 9a²c² - 12ab²c - 6abc² + 4b⁴ +4b³c + b²c²

que j'ai mis sous la forme: A² + 4B
où B = b⁴ + b³c + 2a²c² - a²b² - 4ab²c - a²bc - 2abc²

Ensuite l'idée est de faire quelque chose avec B:
Et j'ai trouvé que: B = (1).(2) - A²

Ce qui nous donne 0 = A² + 4[(1).(2) - A²]
soit A² = 4/3*(27*48) = 1728

Et 2ab + bc + ca = 243

Voilà, je suis désolé si la présentation n'est pas claire (ça fait longtemps que je n'ai plus touché à LateX et je n'avais pas le temps de m'y remettre ce matin).

En tout cas merci, c'était un exercice très sympa !
(dur à trouver sans l'exemple par contre :p)

Bonne journée

Bonjour Serphone,

Bravo, bravo, bravo! Et merci beaucoup. Je m'empresse de sauvegarder la preuve dans mes fichiers... Et cet après-midi/soir je vais poster un nouvel exercisse ( dont je ne trove pas à ce jour de solution ) -aussi passionnant, je l'espère! Alors, prend-on RV ce soir à la rubrique  « Lycée / T^ale » ?

A très bientôt,

< mikomaria >

Salut Serphone et Mikomaria,

Bravo a Serphone, tres belle methode!

Meme si c est trop tard, je voudrais tout de meme donner mes resultats, car j ai fini par trouver (apres au moins 3 ou 4 heures de recherche...)

En reprenant le debut que j ai presenté hier, il s agissait donc de calculer (en reprenant les notations de Serphone):
((1)+(2)+(3)).((1)+(2)-(3))

Nous obtenons une identité remarquable ((1)+(2))^2-(3)^2 a simplifier et a exprimer en fonction des differentes combinaisons (1)^2,(1).(2),(1).(3),(2)^2,(2).(3) et (3)^2, sans oublier A^2

En calculant ((1)+(2))^2-(3)^2, je tombe sur une expression de degré 4 en fonction de a, b et c

En faisant les differentes combinaisons, je finis par constater que ((1)+(2))^2-(3)^2 vaut 2*(2).(3)+2*(1).(3)-2*(3)^2-3*A^2+4*(1).(2)

Ce qui nous ramene a l equation 2*48*75 + 2*27*75 - 2*75^2 - 3*A^2 + 4*27*48 =0

D ou apres simplification A=24.V3

Ceci dit la methode de Serphone etait plus simple.

@Mikomaria: Si tu as encore d autres exercices pareils, tu peux toujours les poster, ca fait passer le temps au bureau pendant l ete!

@mikomaria

Réponse à Jerem80:

Salut,bravo et merci! Une solution également valable que celle de Serphone. Après quelques retouches de rédaction elle deviendrait aussi élégante que la précédente. J'ai manqué de ta patience pour achever mes recherches jusqu'au bout. Bien sûr, j'envisage de continuer de poster mes problèmes, mais un par un pour des raisons de gestion des réponses aux participants du forum. Il en suffira pour quelques années, le seul obstacle étant le LATEX pour des textes plus complexes que j'aimerais publier ici...

Réponse à Misto:

Alors, on agira ensemble! Je serais sur le forum vers minuit avec un nouveau problème!

Bien à tous,

< mikomaria >