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Systèmes linéaires : Le problème du messager
Bonsoir et merci d'avance.
Exercice : Ce problème ancien concerne une armée de cinquante kilomètres de long. Alors que l'armée avance à une vitesse constante, un messager part de l'arrière-garde, galope pour aller délivrer un message à l'avant; puis revient à l'arrière-garde. Il arrive exactement au moment ou l'armée a parcouru cinquante kilomètres. Wuelle distance totale a parcouru le messager?
Note : (On désignera par v et V les vitesses respectives de l'armée et du messager et on posera x = V/v.)
Utilise ces quatre relations pour déterminer x = v/V :
50 = V t
50 = (v - V) t1
50 = (v + V) t2
t = t1 + t2
puis celles-ci pour déterminer L :
x = v/V
50 = V t
L = v (t1 + t2)
t = t1 + t2
Mais que représente L?
La distance totale parcourue par le messager.
V = Vitesse de l'armée
v = vitesse du messager
t1 = temps mis par le messager pour se rendre à l'avant
t2 = temps mis par le messager pour regagner l'arrière
t = t1 + t2 = temps total mis par le messager
Excusez moi mais ne cherche sans succès à comprendre pourquoi on a 50 = V t;
50 = (v - V) t1;
50 = (v + V) t2; et L = v (t1 + t2)
Voici quelques explications :
Considérons d'abord le mouvement du messager par rapport à l'armée durant l'aller. Comme ils progressent tous deux dans le même sens, la vitesse relative du messager est égale à la différence des vitesses v et V de l'armée et du messager. Remontant la longueur de l'armée, le messager parcourt 50 km (toujours par rapport à l'armée), et cette remontée dure un temps t1 .
On a donc, d'après la formule distance = vitesse * temps : 50 = (V - v)t1 .
L'équation correspondant à la course de retour s'établit de façon analogue : 50 = (V + v)t2 .
Si l'on considère maintenant le mouvement du messager par rapport au sol, il parcourt une longueur L à la vitesse V pendant un temps t = t1 + t2 , d'où L = V(t1 + t2) .
En éliminant t1 et t2 entre ces trois équations, on obtient l'expression de L en fonction de v/V .
Bonjour,
comme il y a des 50 partout là dedans avec des significations différentes, peut être en mettant les points sur les i ça ira mieux
distance parcoure par l'armée 50 = Vt (dans un repère fixe)
longueur de l'armée (aller) 50 = (v-V)t1 (en raisonnant dans un repère mobile lié à l'armée)
longueur de l'armée (retour) 50 = (v+V)t2 (idem)
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