Pour n=9 comme dit ty5947 nous avons un compte  carré
r=(2)/60.23570226

On peut s'en sortir avec un plus petit rayon pour et pour

Pour n=8 on peut resserrer autour de 2.67 mais je n'ai pas l'équation.
Pour N=9 mon calcul est fait dans la théorie de ty59847 ,il me
tarde de savoir

Si tu t'impatientes trop, je cite mes sources
C'est un article de recherche donc ça ne va pas te plaire mais de la page 6 à 10 tu as les dessins puis les valeurs numériques. A voir si GBZM a quelque chose de plus ou moins accessible.

L'hyperbole que tu as tracée est une piste... pour confirmer que ma proposition était loin d'être optimale.(des beaux carrés bien réguliers pour n=9,16,25...)

A priori, cette hyperbole est presque en 1/n².  La surface cumulée des n cercles vaut , et ce nombre est toujours supérieur à 1.
A part quelques accidents de parcours, ce nombre    devrait suivre une courbe légèrement décroissante.  (disons une courbe tendanciellement descendante) : plus on a de cercles à disposition, plus on peut jouer pour limiter les débordements.

Et pour n très grand, (plusieurs milliards), on peut dire que le pavage solution est très proche du pavage standard, avec des hexagones réguliers.
Donc, on peut trouver une valeur limite pour ce nombre  , quand n devient très grand.
Cette valeur limite c'est   = 1.2092 ; c'est le ratio entre la surface d'un cercle et la surface de l'hexagone régulier inscrit dans ce cercle.

Mais tout ça ne nous aide pas beaucoup.

Un peu planté avec latex.

Le dernier calcul, c'est pour la surface du cercle, divisé par , pour la surface de l'hexagone régulier inscrit.
Ce qui donne le 1.2092

Bon dimanche,
Je pense que tu as pris d et non r.
En estimant comme toi que pour des n énormes on se rapproche
du pavage hexagonal.
Je dirai donc r = 1/(3.n).

On est arrivé à n= 9 et approché n=30 ;ce n'est pas si mal.
Je vais de ce pas voir la maison de Vassillia.

Excellente lecture...
Nous n'avons pas à rougir...