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tangente et dérivées

Posté par Azaan (invité) 05-12-03 à 15:38

alors voila on m a donné un dm et je bloque sur la premiere question.
le pire c est que toutes les question d apres découlent de la premiere...

1) repere orthonormé ( O, i,j) d unité 1 cm soit I (-2;4) et J(-1;0)
a. démontrer qu il existe une unique fonction polynome f de degré 3
et de representation graphique C par rapport à ( O,i,j) telle que
:

au pt d'abscisse -2 la tangente à C a pour équation y=-3x-2 ( donc
f'(-2)=-3 et f(-2)=-2 )
au pt d abcisses -4 la tangente est horizontale ( donc f'(-4)=0)
les tangentes aux pts d abscisse -3 et -1 sont parallelles ( donc f'(-3)=f'(-1)
)


merci d'avance j ai rajouté ce que je pense savoir entre parenthese
sinon je pensais à utiliser :

y=ax3+bx²+cx+d

et avec f(-2)=-2  

-2=-8a+4b-2c+d
il me faudrait alors une autre équation mais je la trouve pas

merci !

Posté par
Océane Webmaster
re : tangente et dérivées 05-12-03 à 16:49

C'est déjà un bon début.

Mais attention ! Tu ne peux pas conclure de l'équation de la tangente
y=-3x-2 que f(-2) = -2.

L'équation de la tangente est donnée par :
y = f '(-2)(x + 2) + f(-2)
= f '(-2) x + 2 f '(-2) + f(-2)

On voit donc que la constante n'est pas égale à f(-2).



Et pourquoi ne traduis-tu pas toutes les hypothèses ?
Tu as par exemple f '(-2) = -3.

Dérives donc ta fonction f et traduis cette hypothèse supplémentaire.

idem pour les autres hypothèses.



On a donc :
f est une fonction polynome de degré 3, donc :
f(x) = ax^3 + bx² + cx + d
avec a, b, c et d des nombres réels.

f est dérivable sur de dérivée :
f '(x) = 3ax² + 2bx + c

Au poit d'abscisse -2 la tangente à C a pour équation y=-3x-2,
donc :
f '(-2) = -3
et
2 f '(-2) + f(-2) = -2,
soit f(-2) = 4

c'est-à-dire :
12a - 4b + c = -3
et
-8a + 4b - 2c + d = 4


Au point d'abcisse -4 la tangente est horizontale, donc :
f '(-4) = 0
c'est-à-dire :
48a - 8b + c = 0


Les tangentes aux points d'abscisse -3 et -1 sont paralèlles, donc
:
f '(-3) = f '(-1)
qui se traduit par :
27a - 6b + c = 3a - 2b + c
soit
24 a - 4b = 0



Tu obtiens donc un système à quatre inconnues :
12a - 4b + c = -3
-8a + 4b - 2c + d = 4
48a - 8b + c = 0
24 a - 4b = 0


Tu résous ce système et tu devrais trouver sauf erreur de ma part :

a = 1/4
b = 3/2
c = 0
d = 0

Voilà, bon courage ...

Posté par
J-P Posteur d'énigmes
re : tangente et dérivées 05-12-03 à 17:16

Le temps de rédiger et je vois qu'Océane a répondu.
J'envoie quand-même ma solution.
(Si la connexion veut bien fonctionner)

y=ax³+bx²+cx+d  

y ' = 3ax² + 2bx + c

f(-2) = -8a + 4b -2c + d
f '(-2) = 12a - 4b + c

Tangente à C au point d(abscisse -2:
(y - (-8a + 4b -2c + d) = (x + 2).(12a - 4b + c)
y = (12a - 4b + c)x + 24a - 8b + 2c -8a + 4b -2c + d
y = (12a - 4b + c)x + 16a - 4b  + d

A identifier avec: y = -3x - 2
->
12a - 4b + c = -3    (1)
16a - 4b + d = -2    (2)
---
f '(-4) = 3ax² + 2bx + c
48a - 8b + c = 0   (3)
---
f '(-3) = f '(-1)
27a - 6b + c = 3a + 2b + c
24a - 8b = 0
6a = b   (4)
---
Tu as alors le système (1) à (4):

12a - 4b + c = -3    
16a - 4b + d = -2
48a - 8b + c = 0
6a = b

Résolu, on a:
a = 0,25
b = 1,5
c = 0
d = 0
----
P(x) = 0,25x³ + 1,5x²

Posté par Azaan (invité)re : tangente et dérivées 06-12-03 à 10:15

merci beauoup je retrouve les memes valeurs ( avec 3/12 pour a mais
c est 1/4 aussi) , il y a un autre exercice de ce style et je vais
essayer de calquer la méthode merci encore

Posté par Azaan (invité)re : tangente et dérivées 06-12-03 à 11:37

bon apparemment je bloque encore

" démontrer qu il existe une unique parabole P dont l axe de symétrie
est la droite d équation x=-1 et qui soit tangente à C ( répresenté
par la fonction f  d en dessus) au pt d abscisse -2 on note g la
fonction representée par P ds ( O,i,j)"

donc g fonction polynome de degré 2 ( parabole)
g(x)=ax²+bx+c

P tangente à C au pt d abscisse -2 donc P passe par A(-2,4) ( coordonnées
calculé par rapport la fonction f) on a :
4=4a-2b+c

il me reste donc la phrase axe de symétrie que j ai du mal à interpreter

merci  encore c est bien gentil ! je vais essayer de chercher de mon coté

Posté par Azaan (invité)re : tangente et dérivées 06-12-03 à 13:57

bon je demande pas toute la solution mais comment je pourrait traduire
la phrase avec l axe de symétrie avec a, b et c ? merci encore



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