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Techniques et suites
Bonjour, Pouvez vous me dire si mes résultats sont bon ?
Soit t la suite définie pour tout entier naturel n, par tn = n²/(n+1)
1. Calculer les 3 premiers termes de la suite (tn).
t0 = 0
t1 = 1/5
t2 = 4/3
2. Montrer que tn+1 - tn = (n²+3n+1)/(n+2)(n+1)
tn+1 = (n²+2n+1)/(n+2)
tn+1 - tn = (n²+2n+1)/(n+2) - n²/(n+1)
= (n^3 + 2n² + n + n² + 2n + 1 - n^3 - 2n² ) / (n+2)(n+1)
= (n² + 2n + 1)/(n+2)(n+1)
On voit que tn+1 ? tn donc la suite est croissante.
* Modération > Titre précisé *
Bonsoir Leile,
Je n'ai pas pensé à vérifier 1) 
Je ne vais pas être disponible longtemps. Merci de poursuivre.
pour ton développement, tu dois arriver à n² +3n +1 au numérateur, et tu arrives à quelque chose de différent, donc c'est que tu as fait une erreur.
co11 t'a dit ton erreur... Je suis sûre que tu aurais pu la trouver seule.
Pour la question suivante :
pourquoi affirmes tu que tn+1 - tn est positif ? comment tu justifies ?
Bonsoir, pour la question en déduire le sens de variation de la suite t
t2 = 4/3 après calcul et t1 = 1/2 donc tn+1 ≥ tn donc la suite est croissante.
Est ce que là c'est correct svp.
bonsoir
en l'absence de Leile qui reprend la main dès qu'elle est là
as-tu fini par trouver le bon résultat à la question 2 ?
ensuite pour le "en déduire" il va falloir t'en servir
comparer seulement t1 et t2 ne te permet pas de dire si la suite est croissante ou décroissante
tu dois donner le signe de la différence pour toutes les valeurs de n, et c'est pour cela qu'on t'a fait faire la question 2
tu y vas ?
Bonsoir, j'ai tout refais est ce que c'est bon ou pas? Merci beaucoup.
Soit t la suite définie pour tout entier naturel n, par tn = n²/(n+1)
1. Calculer les 3 premiers termes de la suite (tn).
t0 = 0
t1 = 1/2
t2 = 4/3
2. Montrer que tn+1 - tn = (n²+3n+1)/(n+2)(n+1)
tn+1 = (n²+2n+1)/(n+2)
tn+1 - tn = (n²+2n+1)/(n+2) - n²/(n+1)
= (n^3 + 2n² + n + n² + 2n + 1 - n^3 - 2n² ) / (n+2)(n+1)
= (n² + 3n + 1)/(n+2)(n+1)
On calcule t2
tn+1=(n² + 3n + 1)/(n+2)(n+1)+tn
t1+1= 1²+3*1+1/(1+2)(1+1) +t1
t2 = 1+3+1/ 3*2 +1/2
t2= 5/6+1/2
t2= 5/6+3/6
t2=4/3
x -∞ -3 -2 -1 0 +∞
n - - - - 0 +
n+3 - 0 + + + +
1 + + + + +
n+2 - - 0 + + +
n+1 - - - 0 + +
n(n+3)+1/
((n+2)(n+1)) + 0 - 0 + 0 - 0 +
S=] -∞;-3] U [ -2;-1] U [ 0; +∞[
bonsoir,
Q1 : OK
Q2 : tu retrouves bien l'expression de l'énoncé, c'est correct.
Ensuite, tu écris que tu calcules t2 : pourquoi fais tu cela ? Est ce pour vérifier ta réponse ? C'est inutile, la question telle qu'elle est posée te dit que c'est juste.
ton tableau de signes :
note que les valeurs -2 et -1 sont interdites.
les autres valeurs qui annulent ton numérateur, comment les as tu trouvées ?
tu fais varier n de -oo à +oo : penses tu que n peut etre négatif ?
tu peux donc réduire ton tableau de signes et ta conclusion sera plus simple.
N'oublie pas de revenir à la question posée (que je ne vois pas dans ton énoncé), pour y répondre.
OK ?
x -∞ -3 -2 -1 0 +∞
n - - - - 0 +
n+3 - 0 + + + +
1 + + + + +
n+2 - - 0 + + +
n+1 - - - 0 + +
n(n+3)+1/
((n+2)(n+1)) + 0 - 0 + 0 - 0 +
S= [ 0; +∞[
Donc la suite est strictement positive.
en effet, n varie de 0 à +oo
tu ne m'a pas dit comment tu as trouvé les valeurs qui annulent ton numérateur... ton tableau de signes te donne (par hasard !) la bonne conclusion, mais il est bizarrement construit.
donc , je réitère : comment as tu trouvé les valeurs qui annulent ton numérateur ?
n²+3n+1 = 0 comment tu fais ?
conclusion :
donc tn+1 - tn est strictement positif (et non la suite est strictement positive ).
la suite est strictement croissante.
n(n+3)+1=0
n+3=0
n=-3
n=0
je me disais bien qu'il y avait quelque chose qui t'a échappé.
n² + 3n +1 est un polynôme du second degré.
pour trouver les solutions de n² + 3n +1 = 0, comment fais tu ?
Bonjour, Pouvez-vous me dire si c'est juste ?
Merci
∆ = b²-4ac = 3² -4*1*1 = 5
On calcule les racines
x1 = -b- sqrt(5)/2a = -3-sqrt(5)/2*1 = -(3+sqrt(5)/2)
x1 = -b + sqrt(5)/2a = -3+sqrt(5)/2*1 = -(3+sqrt(5)/2)
x -∞ x1 -2 -1 x2 +∞
n²+3n+1 + 0 - - - 0 +
n+2 - - 0 + + +
n+1 - - - 0 + +
tn+1 - tn + 0 - 0 + 0 - 0 +
Voici le nouveau tableau de signe.
Donc S = [ 0; +∞[
re moi...
as-tu pensé à regarder le signe de tes solutions x1 et x2
car je te rappelle, n est un entier, donc tu ne travailles que sur des positifs
donc plus rapidement :
je sais que n est un entier positif
n² est ....de quel signe ?
3n est ...de quel signe ?
n²+3n+1 est de quel signe ?
Bonjour,
Je n'ai pas regardé en détail.
As-tu vraiment besoin de tout ça pour trouver que n2 + 3n +1 est strictement positif quand n est positif ou nul ?
Tu as une somme de trois termes dont les deux premiers sont positifs ou nuls.
bonsoir,
x1 et x2 sont négatifs
je sais que n est un entier positif
n² est positif
3n est positif
n²+3n+1 est positif
D'accord merci beaucoup
donc le tableau de signe est :
x -∞ -2 -1 +∞
n²+3n+1 + + +
n+2 - 0 + +
n+1 - - 0 +
tn+1 - tn + 0 - 0 +
Donc pour n entier S=]-∞;-2[U]-1;+∞[
ce que tu as fait pour le signe du numérateur, sachant que n est un entier, ne peux-tu le faire pour n+2 et ensuite pour n+1
ton tableau devient alors complètement inutile
à toi 
edit > ha...Leile, quand j'ai regardé, tu n'étais pas là, d'où ma réponse...tu peux bien sûr réintervenir
hello malou,
pas de problème !
J'ai demandé à Loulou2813 de me montrer comment il faisait pour trouver les racines car sa "méthode" me semblait bizarre... et pour cause !
Je pensais que le laisser terminer sur le calcul "classique" du discriminant était bien (d'autant que même après le calcul Loulou2813 garde de mauvaises valeurs dans le tableau, quelque chose n'est pas compris, je crois), mais ce sera pour une autre fois. Bonne soirée.
la réponse à quoi ? solution de quelle question ?
Loulou2813, reprends la question : tu étudies le signe de ton expression pour répondre à une question.
quel est le signe de Un+1 - Un avec n
0 ? c'est ça la question...
Bonsoir, j'espère que je n'interviens pas à tort.
La question était : montrer que la suite (tn) est croissante. C'est bien cela ?
Pour l'instant, Loulou2813, tu n'y a toujours pas répondu.
Tu t'es peut-être un peu perdu dans des calculs inutiles pour déterminer le signe du quotient, en tout cas dans le cadre de cet exercice. Mais malou t'a indiqué comment faire simple, puisque n est un entier naturel (donc positif ou nul)
Et sinon, même si on peut s'en passer dans le cadre de cet exercice, il faudrait tout de même que Loulou2813 sache déterminer le signe du trinome x² + 3x +1 pour x réel, puis du quotient ....
Bon, à travailler à part
Bonjour,
Voici ma nouvelle réponse à question du signe de la suite t.
Est-ce juste ?
Je sais que n est un entier positif
n² est positif
3n est positif
n²+3n+1 est positif
Donc le signe de la suit t dépend du signe de (n+2)(n+1).
Ainsi voici le tableau de signe :
x -∞ -2 -1 +∞
n+2 - 0 + +
n+1 - - 0 +
(n+2)(n+1) + 0 - 0 +
Pout tout n entier positif S=[-1;+∞[
bonjour,
Je sais que n est un entier positif
n² est positif
3n est positif
n²+3n+1 est positif
oui, ça c'est juste.
Donc le signe de la suit t dépend du signe de (n+2)(n+1).
non, ce n'est pas le signe de la suite (tn) que tu étudies, c'est son sens de variations.
ensuite tu fais un tableau pour le signe de (n+2)(n+1)
ton tableau et ta conclusion sont inexacts...
ce n'est pas x qui varie, mais n
tu fais varier n de -oo à +oo, alors que tu viens d'écrire que n est positif. (je te l'avais déjà fait remarquer le 5/12 à 21:21).
n ne peut varier que de 0 à +oo
enfin, tu donnes une "solution" dans laquelle n peut etre négatif.
De plus, cette solution ne répond pas à la question qui est "étudier le sens de variation de la suite".
Ta solution, si elle était juste, répondrait à une question qui commencerait par "sur quel intervalle .... "
Faire un tableau de signes, c'est bien. Sur cet exercice, on pouvait s'en passer.
C'est ce que malou t'a montré : tu as vu avec malou que n² + 3n +1 était toujours positif, sans avoir besoin de calculer les racines.
Et pour (n+1)(n+2) tu gardes ton tableau de signes ? pourquoi ? Est ce que c'est parce que tu n'as pas compris ce que malou te disait ?
Je sais que n est un entier positif
n² est positif
3n est positif
n²+3n+1 est positif
Donc tn+1-tn= (n²+3n+1) / (n+2)(n+1) > 0
Pour tout entier naturel non nul, on a donc: tn+1-tn > o ⇔tn+1>tn
On en déduit que la suite (tn) est strictement croissante sur N.
Je sais que n est un entier positif
n² est positif
3n est positif
n²+3n+1 est positif
je suis OK
mais ensuite tu parles du quotient en disant
donc....
mais avant cela, il faudrait que tu parles du signe du dénominateur, parce que à lui seul, le signe du numérateur n'est pas suffisant
cpmrends-tu ?
Est ce que c'est ça ou pas je suis vraiment désolé.
Je sais que n est un entier positif
n² est positif
3n est positif
n²+3n+1 est positif
n+2>0
n+1>0
Donc (n+2)(n+1)>0
Donc tn+1-tn= (n²+3n+1) / (n+2)(n+1) > 0
Pour tout entier naturel non nul, on a donc: tn+1-tn > o ⇔tn+1>tn
On en déduit que la suite (tn) est strictement croissante sur N.
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