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Tengante et dérivation
Bonsoir, j'ai fait un exercice et j'aimerais avoir une correction car je ne suis pas totalement sûr de moi, je vous remerci par avance et vous joins ma recherche :
On considère la fonction définie sur I privé de 3/2 par f(x) = 1/(2x-3)
1a. À l'aide de la calculatrice, tracer :
la courbe représentative Cf, de la fonction f
la droite T, tangente à Cf, au point d'abscisse
1. b. Conjecturer la position relative de la courbe Cf par rapport à la droite T et s'il existe une tangente à la courbe C, strictement parallèle à la droite T
2 a. Déterminer l'ensemble de dérivabilité de f et calculer sa dérivée.
b. Déterminer une équation de la droite T.
c. Vérifier que, Vx E I, f(x) - (-2x + 1)= 4(x - 1)^2/( 2x - 3)
d. Étudier le signe de la différence f(x) - (-2x + 1).
e. Confirmer ou infirmer la première conjecture de la sa question 1b.
3. Raisonner Montrer que la droite T est parallèle à une autre tangente à la courbe C, en un point dont on déterminera l'abscisse. Confirmer ou infirmer la seconde conjecture de la question 1b.
Ma partie:
1b. On a l'impression que la tangente est la meilleure approximation affine de la fonction au voisinage du point d'abscisse 1. Il pourrait y avoir une tangente strictement parallèle à la droite T au point d'abscisse 2.
2a. Ensemble de dérivabilité : R privé de 3/2; f'(x)= —2/(2x-3)^2
b; Equation de la tangente : y=f'(a)(x-a)+f(a)
y=(—2x+4a-3)/(2a-3)^2
c. J'ai vérifié en développant et les deux expressions sont égales.
d. Comme les deux expressions sont égales on peut directement étudier le signe de 4(x - 1)^2/( 2x - 3) : négatif de - l'infini à 1 (où le quotient est égal à 0) puis à nouveau négatif jusqu') 1,5 exclu et positif de 1,5 exclu à + l'infini. J'ai fait un tableau pour montrer ça.
e.
d. Equation de la tangente au point d'abscisse 1 : y= —2x+1
Donc pour que la tangente recherchée soit parallèle à C, il faut qu'elle est le même coefficient directeur que celle au point 1: on doit résoudre : -2/(2x-3)^2=—2
S=2 et 1
Ainsi au point d'abscisse 2 il y a une tangente à Cf qui est parallèle à T, elle a pour équation: y=—2x+5
Bonsoir
1 a) Vous n'avez pas donné en quelle abscisse T était tangente à
Au vu de certaines questions, on peut penser qu'il s'agit de 1. On aurait alors ces représentations graphiques
Certes, c'est bien la meilleure approximation affine de f au voisinage de 1, mais ce n'est pas la question posée.
Position relative de par rapport à T
Sur la courbe semble en dessous de la droite et sur
a courbe semble
au-dessus de la droite
2 Dérivabilité dérivée
Équation de T toujours sous l'hypothèse
Suite des commentaires
Pourquoi y a-t-il des « a » dans le calcul de l'équation de la tangente
Équation de la tangente : y=f'(a)(x-a)+f(a)
y=(—2x+4a-3)/(2a-3)^2
On ne demande pas en un point quelconque, mais en 1.
Signe de la différence : d'accord
Vous ne pouvez ni infirmer ni confirmer, car vous n'avez pas répondu à 1.a)
Le nom de la droite est T. Deux droites sont parallèles si et seulement si elles ont même coefficient directeur.
Le coefficient directeur de la tangente à la courbe au point d'abscisse est
(T) a pour coefficient directeur 1. On résout soit
d'où
ou
Il en résulte
ou
En 1 la tangente est T
Au point d'abscisse 2, il existe une tangente à parallèle à T.
Bonjour alors effectivement j'ai oublié d'écrire dans l'énoncé que
la droite T, tangente à Cf, était au point d'abscisse 1
Pour la e, d'après le signe démontré à la question précédente on peut valider la conjecture qui était : Conjecturer la position relative de la courbe Cf par rapport à la droite T
Merci beaucoup pour votre correction détaillée
Vous n'avez pas donné la position de par rapport à T
Pour l'étude de la position de par rapport à T afin de confirmer ce qui aurait dû être écrit
On considère un point M appartenant à la courbe représentative de . Il a donc pour
coordonnées .
On considère maintenant un point N de même abscisse que M, appartenant à la courbe représentative de .
Ici sera la fonction affine dont la courbe représentative est T. Le point N a donc pour coordonnées
Pour étudier la position relative des deux courbes, on veut savoir si l'ordonnée de M est plus grande que l'ordonnée de N ou le contraire.
est équivalent à
ou encore
On étudie donc le signe de la différence
si alors
par conséquent la courbe représentative de
est au-dessus de la courbe représentative de
si alors
par conséquent la courbe représentative de
est au dessous de la courbe représentative de
si alors on a un point d'intersection des deux courbes
si f(x)-g(x) >0 alors yM>yN par conséquent la courbe représentative de f est au-dessus de la courbe représentative de g.
Or nous avons vu que le signe de cette différence est positif sur 3/2 exclu, +infini.
si f(x)-g(x) <0 alors yM<yN par conséquent la courbe représentative de f est au dessous de la courbe représentative de g.
Or nous avons vu que le signe de cette différence est négatifs -infini ,3/2 exclu.
Donc on peut conclure que la conjecture est vérifiée (qui consistait à dire que sur -infini, 3/2 exclu, la courbe f est au dessous de la droite T
et que sur 3/2 exclu, + infini la courbe f est au dessus de la droite T.
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