Inscription / Connexion Nouveau Sujet
Niveau première
Partager :

Tengante et dérivation

Posté par
Albanmaths2
04-01-22 à 22:08

Bonsoir, j'ai fait un exercice et j'aimerais avoir une correction car je ne suis pas totalement sûr de moi, je vous remerci par avance et vous joins ma recherche :
On considère la fonction définie sur I privé de 3/2 par f(x) = 1/(2x-3)
1a. À l'aide de la calculatrice, tracer :  
la courbe représentative Cf, de la fonction f
la droite T, tangente à Cf, au point d'abscisse
1. b. Conjecturer la position relative de la courbe Cf par rapport à la droite T et s'il existe une tangente à la courbe C, strictement parallèle à la droite T
2 a. Déterminer l'ensemble de dérivabilité de f et calculer sa dérivée.
b. Déterminer une équation de la droite T.
c. Vérifier que, Vx E I, f(x) - (-2x + 1)= 4(x - 1)^2/( 2x - 3)
d. Étudier le signe de la différence f(x) - (-2x + 1).
e. Confirmer ou infirmer la première conjecture de la sa question 1b.
3. Raisonner Montrer que la droite T est parallèle à une autre tangente à la courbe C, en un point dont on déterminera l'abscisse. Confirmer ou infirmer la seconde conjecture de la question 1b.

Ma partie:
1b. On a l'impression que la tangente est la meilleure approximation affine de la fonction au voisinage du point d'abscisse 1. Il pourrait y avoir une tangente strictement parallèle à la droite T au point d'abscisse 2.
2a. Ensemble de dérivabilité : R privé de 3/2;  f'(x)= —2/(2x-3)^2
b; Equation de la tangente : y=f'(a)(x-a)+f(a)
                                             y=(—2x+4a-3)/(2a-3)^2
c. J'ai vérifié en développant et les deux expressions sont égales.
d. Comme les deux expressions sont égales on peut directement étudier le signe de 4(x - 1)^2/( 2x - 3) : négatif de - l'infini à 1 (où le quotient est égal à 0)  puis à nouveau négatif jusqu') 1,5 exclu et positif de 1,5 exclu à + l'infini. J'ai fait un tableau pour montrer ça.
e.
d. Equation de la tangente au point  d'abscisse 1 : y= —2x+1
Donc pour que la tangente recherchée soit parallèle à C, il faut qu'elle est le même coefficient directeur que celle au point 1:   on doit résoudre : -2/(2x-3)^2=—2
S=2 et 1
Ainsi au point d'abscisse 2 il y a une tangente à Cf qui est parallèle à T, elle a pour équation: y=—2x+5

Posté par
hekla
re : Tengante et dérivation 05-01-22 à 00:20

Bonsoir

1 a) Vous n'avez pas donné en quelle abscisse T était tangente à C_f

Au vu de certaines questions, on peut penser qu'il s'agit de 1. On aurait alors ces représentations graphiques
Tengante et dérivation

Certes, c'est bien la meilleure approximation affine de f au voisinage de 1, mais ce n'est pas la question posée.
Position relative de C_f par rapport à T

Sur ]-\infty~;\dfrac{-3}{2}\right[ la courbe semble en dessous de la droite et sur \left]\dfrac{-3}{2}~;~l+\infty[   a courbe semble

au-dessus de la droite

2 Dérivabilité \R\setminus\{-3/2\} dérivée f'(x)=\dfrac{-2}{(2x-3)^2}

Équation de T  toujours sous l'hypothèse x=1

f'(1)=\dfrac{-2}{(2-3)^2}=-2 \quad f(1)= -1

 y=-2(x-1)-1=-2x+1

Posté par
hekla
re : Tengante et dérivation 05-01-22 à 00:29

Lire

Sur  \left]-\infty~;~\dfrac{-3}{2}\right[  la courbe semble en dessous de la droite et sur \left]\dfrac{-3}{2}~;~+\infty\right[  la courbe semble au-dessus de la droite

Posté par
hekla
re : Tengante et dérivation 05-01-22 à 11:06

Suite des commentaires

Pourquoi y a-t-il des  « a » dans le calcul de l'équation de la tangente

Équation de la tangente : y=f'(a)(x-a)+f(a)
                                             y=(—2x+4a-3)/(2a-3)^2

On ne demande pas en un point quelconque, mais en 1.

Signe de la différence : d'accord

Vous ne pouvez ni infirmer ni confirmer, car vous n'avez pas répondu à 1.a)

Le nom de la droite est T. Deux droites sont parallèles si et seulement si elles ont même coefficient directeur.

Le coefficient directeur de la tangente à la courbe au point d'abscisse a est f'(a)

(T) a pour coefficient directeur 1. On résout f'(a)=-2  soit \dfrac{-2}{(2x-3)^2}=-2 d'où

2x-3=1 ou 2x-3=-1 Il en résulte x=2 ou x=1 En 1 la tangente est T

Au point d'abscisse 2, il existe une tangente à  C_f parallèle à T.

Posté par
Albanmaths2
re : Tengante et dérivation 05-01-22 à 13:50

Bonjour alors effectivement j'ai oublié d'écrire dans l'énoncé que
la droite T, tangente à Cf, était au point d'abscisse 1

Pour la e, d'après le signe démontré à la question précédente on peut valider la conjecture qui était : Conjecturer la position relative de la courbe Cf par rapport à la droite T

Merci beaucoup pour votre correction détaillée

Posté par
hekla
re : Tengante et dérivation 05-01-22 à 13:59

Vous n'avez pas donné la position de C_f  par rapport à T

Pour l'étude de la position de C_f par rapport à T   afin de confirmer ce qui aurait dû être écrit

On considère un point M appartenant à la courbe représentative de f . Il a donc pour
coordonnées M\ \binom{x}{f(x)}.

On considère maintenant un point N de même abscisse que M, appartenant à la courbe représentative de g.
Ici  g sera la fonction affine dont la courbe représentative est T. Le point N a donc pour coordonnées  N\ \dbinom{x}{g(x)}

Pour étudier la position relative des deux courbes, on veut savoir si l'ordonnée de M est plus grande que l'ordonnée de N   ou le contraire.

 y_N \leqslant y_M est équivalent à y_M-y_N\geqslant 0 ou encore f(x)-g(x) \geqslant 0

On étudie donc le signe de la différence f(x)-g(x)

si f(x)-g(x) >0 alors y_M>y_N par conséquent la courbe représentative de f est au-dessus  de la courbe représentative de g

si f(x)-g(x) <0 alors y_M<y_N par conséquent la courbe représentative de f est au dessous  de la courbe représentative de g

si f(x)-g(x)=0 alors on a un point d'intersection des deux courbes

Posté par
Albanmaths2
re : Tengante et dérivation 05-01-22 à 14:49

si f(x)-g(x) >0 alors yM>yN  par conséquent la courbe représentative de f est au-dessus  de la courbe représentative de g.
Or nous avons vu que le signe de cette différence est positif sur 3/2 exclu, +infini.

si f(x)-g(x) <0 alors yM<yN  par conséquent la courbe représentative de f est au dessous  de la courbe représentative de g.
Or nous avons vu que le signe de cette différence est négatifs -infini ,3/2 exclu.

Donc on peut conclure que la conjecture est vérifiée (qui consistait à dire que sur -infini, 3/2 exclu, la courbe f est au dessous de la droite T
et que sur 3/2 exclu, + infini la courbe f est au dessus de la droite T.

Posté par
hekla
re : Tengante et dérivation 05-01-22 à 15:15

Par exemple

Posté par
Albanmaths2
re : Tengante et dérivation 05-01-22 à 16:06

Un grand merci à vous pour votre aide, bonne journée.

Posté par
hekla
re : Tengante et dérivation 05-01-22 à 16:13

De rien

Bonne journée



Vous devez être membre accéder à ce service...

Pas encore inscrit ?

1 compte par personne, multi-compte interdit !

Ou identifiez-vous :


Rester sur la page

Inscription gratuite

Fiches en rapport

parmi 1673 fiches de maths

Désolé, votre version d'Internet Explorer est plus que périmée ! Merci de le mettre à jour ou de télécharger Firefox ou Google Chrome pour utiliser le site. Votre ordinateur vous remerciera !