Bonsoir .  Trace AG , qui va couper BC en F .
               Trace DF , et prolonge la vers la gauche .
               Trace IG , et prolonge la vers le bas-à gauche
Que penses-tu de l'intersection entre  IG et DF ?...

bonsoir

solution analytique

considère le repère cartésien (A;AB;AC;AD)
dans ce repère B(1;0;1) C(0;1;0) et D(0;0;1)

AI=(1/2)AD donc I(0;0;1/2)
AG=(1/3)AB+(1/3)AC donc G(1/3;1/3;0)

BC(-1;1;0)
BD(-1;0;1)
BM(x-1;y,z)

M(x;y;z) appartien au plan (BCD) ssi det(BC;BD;BM)=0
                                 ssi x+y+z-1=0    ; après calcul
c'est l'équation cartésienne du plan (BCD)

IG(1/3;1/3;-1/2) donc une équation paramétrée de (IG) est
x=µ/3
y=µ/3
z=-µ/2+1/2

M appartient à l'intersection de (IG) et (BCD) ssi µ/3+µ3-µ2+1/2-1=0
                                               ssi µ/6=1/2
                                               ssi µ=3
donc les coordonnées de E sont:
x=1
y=1
z=-1
E(1;1;-1)

2)
EC(-1;0;1)
BD(-1;0;1)
donc
EC=BD
donc
BECD est un parallélogramme

    Bonsoir N... Tu n'as pas encore réagi.  Je ne pense pas que ce soit cette réponse qui t'est demandée .
   On parle de construction, et c'est ce que je t'ai indiqué qui me semble le plus adapté .

    Pour déterminer La nature de BECD, je pense qu'un raisonnement sur le triangle ADE, de médianes  EI et  AF , te montrera que  FD est le milieu de ED donc que F est le centre des diagonales du quadrilatère, qui est donc un parallèlogramme.