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Théorème d'usage courant

Posté par Profil amethyste 10-11-15 à 18:10

Salut

Bonjour,  là un théorème qui pète pas loin puisqu'il est très connu car on l'utilise souvent en géométrie et sans même avoir besoin de lui donner un nom spécial d'ailleurs

sa démonstration est simple (aucune prise de tête requise)
____________________________

Théorème d'usage courant

Au préalable il faut donner quelques conventions de notation et quelques définitions

------------------------------
Première convention: produit scalaire euclidien

soient deux vecteurs x et y  d'un \mathbb {R}-espace vectoriel de dimension n\in \mathbb {N}^*

on propose la notation \langle x|y \rangle pour désigner le produit scalaire euclidien

qui se définit par l'expression  \langle x|y \rangle =x_1.y_1+...+x_n.y_n

On dira que ce  \mathbb {R}-espace vectoriel muni de ce produit scalaire est un  \mathbb {R}-espace vectoriel euclidien

À tout vecteur x on associe une norme selon l'expression ||x||=\sqrt {\langle x|x \rangle }

On dira que ce  \mathbb {R}-espace vectoriel muni de cette norme  est un  \mathbb {R}-espace vectoriel euclidien normé

---------------------
Deuxieme  convention: points, droites et segments de droites

En écrivant que l'on se place dans \mathbb {R}^n on ne fera juste que dire que l'on se place dans un espace

dans lequel on définit entre autre, des points, des droites et des segments de droite

Sans autres précisions les composantes des points seront tous définis par rapport au repère canonique \{(\underbrace {0,...,0}_{n}),Id \}

où Id désigne la base canonique du \mathbb {R}-espace vectoriel euclidien normé de dimension  n\in \mathbb {N}^*

La notation PQ désignera un segment de droite et la distance entre les points P et Q sera donnée par l'expression

||\overrightarrow {PQ}||=\sqrt {\langle  \overrightarrow {PQ}| \overrightarrow {PQ} \rangle } où \overrightarrow {PQ} est un vecteur selon la relation \overrightarrow {PQ}=Q-P

Pour toute droite \Delta , définir une représentation paramétrique de celle-ci c'est se donner un point P appartenant à cette droite

et un vecteur directeur V de cette droite tel que \forall k \in \mathbb {R},X=P+k.V est un point de cette droite

et on represente celle-ci par  \Delta := \begin {Bmatrix} x_1-p_1=k.v_1 \\ ... \\ x_n-p_n=k.v_n \end {matrix}

---------------------
Définition 1: image d'un point sur une droite

Soient une droite \Delta et un point R quelconque de l'espace \mathbb {R}^n avec n\geq 2

On dit que le point  R_{\Delta } est l'image du point R sur la droite \Delta si et seulment si on vérifie

d'une part que  R_{\Delta } appartiens à la droite \Delta

et d'autre part que \langle \overrightarrow {RR_{\Delta }}  | V \rangle =0 où V est un vecteur directeur quelconque de la droite \Delta

---------------------
Définition 2: distance d'un point à une droite

Soient une droite \Delta et un point R quelconque de l'espace \mathbb {R}^n avec n\geq 2

On dit que la norme || \overrightarrow {RR_{\Delta }}|| désigne la distance entre ce point R et la droite \Delta où R_{\Delta } est l'image du point R sur la droite \Delta

et on notera cette distance par l'expression d^R_{\Delta }

---------------------
Définition 3: position d'un point sur une droite

Dans \mathbb {R}^n avec n\geq 2 , Soient une droite \Delta et un point R appartenant à cette droite

on pose l'expression (R)^P_V \in  \mathbb {R} selon la relation R=P+(R)^P_V .V et qui désigne la position du point R sur la droite \Delta

selon le paramètre (V,P) et où P désigne un point de la droite \Delta et V un vecteur directeur de cette droite
  
---------------------
Définition 4: fonction de représentation d'une droite par rapport à une autre

On dit qu'une application réelle \mathbb {R}->\mathbb {R}^+:f(x) est une représentation d'une droite \Delta _q

par rapport à une droite  \Delta _p lorsque en se donnant deux droites  \Delta _p et  \Delta _q

et tel qu'on se donne un point P appartenant à la droite  \Delta _p   et un vecteur directeur V de cette droite  \Delta _p

alors quelque soit un point R appartenant à la droite   \Delta _p on vérifie la relation f((R)^P_V)=d^R_{\Delta _q}

Plus précisemment on dit alors que la fonction f représente la droite \Delta _q par rapport à la  droite \Delta _p et selon le paramètre (P,V)

---------------------
Définition 5: perpendiculaire d'un couple de droites non confondues,  non parallèles et non sécantes

Soient deux droites \Delta _p et  \Delta _q ni confondues ni parallèles et ni sécantes

On dit que le segment de droite PQ avec P appartiens à la droite  \Delta _p et Q appartiens à la droite \Delta _q

désigne la perpendiculaire de ce couple de droites si et seulement si

d'une part quelque soit un point X appartenant à la droite \Delta _p et quelque soit  un point Y appartenant à la droite \Delta _q

alors  on vérifie l'inégalité || \overrightarrow {XY} || \geq || \overrightarrow {PQ} ||

et d'autre part  on vérifie les égalités  \langle   \overrightarrow {PQ} | V \rangle =0 et \langle  \overrightarrow {PQ}  |  W\rangle =0

où V et W désignent des vecteurs directeurs quelconques des droites respectivement \Delta _p et  \Delta _q

_________________________________________________________________________________

Théorème d'usage courant

Ce théorème stipule que si une fonction réelle \mathbb {R}->\mathbb {R}^+:f(x)  représente une droite \Delta _q

par rapport à une droite \Delta _p , droites ni confondues ni parallèles, et selon un paramètre fixé (P,V)

où P est un point appartenant à la droite  \Delta _p   et un vecteur directeur V de cette droite  \Delta _p

alors il n'existe qu'un seul et unique quintuplet (a,b,c,d,e)\in \mathbb {R}^*\times \mathbb {R}\times \mathbb {R}^*\times \mathbb {R}\times \mathbb {R}  

tel que l'on vérifie d'une part a.e+b=c.e+d

et d'autre part \forall x \in \mathbb {R}, (f(x)=a.x+b) \lor (f(x)=c.x+d)

Posté par Profil amethystere : Théorème d'usage courant 25-11-15 à 20:05

sinon à part ça vous avez deviné à quoi il sert ce théorême ?

il me sert bien et en fait tous les géomètres s'en servent sans le savoir

Posté par
verdurinre : Théorème d'usage courant 26-11-15 à 00:52

Pourquoi faire simple quand on peut faire compliqué ?

Posté par
dpire : Théorème d'usage courant 27-11-15 à 11:58

Pour ma part, j'ai passé une vie entière sans  savoir déchiffrer une seule ligne de cette
brillante démonstration ,la règle de trois (dans le bons sens) représentant 50% des cas vécus
Pythagore  20 % etc...mais il est vrai que j'avais des Polytechniciens pour les ...

Posté par
lafol Moderateurre : Théorème d'usage courant 27-11-15 à 14:28

Bonjour
ce qui m'épate, c'est que le résultat énoncé est un résultat de géométrie affine, absolument pas besoin de structure euclidienne. Je m'interroge sur la nécessité des préalables ....

Posté par Profil amethystere : Théorème d'usage courant 16-12-15 à 08:00

Bonjour camarade Lafol

Citation :
Lafol
ce qui m'épate, c'est que le résultat énoncé est un résultat de géométrie affine, absolument pas besoin de structure euclidienne. Je m'interroge sur la nécessité des préalables ....


eh bien en fait je ne vois pas comment faire autrement

par exemple (le plus simple, j'en  posterai un autre un peu plus compliqué un autre jour ) ce théorème me permet de résoudre l'exo suivant (et pour le faire je suis bien obligé là encore de recourir à une telle structure)

-------------------------------------
Enoncé

On se place dans l'espace affine \mathbb {R}^n,n\geq 2

Soient sont donnés trois points R_M et M et N et deux vecteurs \overrightarrow{V} et \overrightarrow{W} tels que

M et N appartiennent à des droites respectivement \Delta _M et  \Delta _N

les vecteurs \overrightarrow{V} et \overrightarrow{W} sont des vecteurs directeurs des droites respectivement  \Delta _M et  \Delta _N

et tels que les droites   \Delta _M et  \Delta _N ne sont ni confondues ni parallèles par conséquent il résulte alors que l'on vérifie

\langle   \overrightarrow{V}  | \overrightarrow{W} \rangle ^2 -\langle \overrightarrow{V}|  \overrightarrow{V} \rangle  .  \langle \overrightarrow{W}  |   \overrightarrow{W}  \rangle  \neq 0

et tels que le point  R_M appartiens à la droite   \Delta _M

alors on recherche le point  R_N qui appartiens à la droite   \Delta _N et tel que son image sur la droite  \Delta _M soit le point   R_M

--------------------------------------------
Solution

la solution recherchée est donnée par l'expression R_N=N_1+x. \overrightarrow{N_1N_2}

Citation :

Première convention de notation
Soient deux vecteurs \overrightarrow{V} et \overrightarrow{W}

on propose la notation \overrightarrow{V}\times \overrightarrow{W}=\langle  \overrightarrow{V}  |   \overrightarrow{V}  \rangle  . \overrightarrow{W}  -\langle  \overrightarrow{V} |  \overrightarrow{W}   \rangle .\overrightarrow{V}


On pose les points N_1 et N_2 selon :

--lorsque || \overrightarrow{V}\times \overrightarrow{MN} || =0 on pose N_1=N- \overrightarrow{W}   et N_2=N+ \overrightarrow{W}  

--lorsque || \overrightarrow{V}\times \overrightarrow{MN} || \neq 0 on pose N_a=N- \overrightarrow{W}   et N_b=N+ \overrightarrow{W}   et dans ce cas
- lorsque  || \overrightarrow{V}\times \overrightarrow{MN_a} || = 0 on pose N_1=N   et N_2=N_b  
- lorsque  || \overrightarrow{V}\times \overrightarrow{MN_a} || \neq 0 on pose N_1=N   et N_2=N_a  

Citation :

Deuxième convention de notation
Soient deux vecteurs non colinéaires \overrightarrow{V} et \overrightarrow{W}

on propose la notation \overrightarrow{V}* \overrightarrow{W}=\gamma .   (\overrightarrow{V} \times  \overrightarrow{W}  ) avec \gamma =\sqrt {\frac { \langle  \overrightarrow{V}   |  \overrightarrow{V} \rangle .   \langle   \overrightarrow{W}  |   \overrightarrow{W}\rangle  - \langle  \overrightarrow{V}  |  \overrightarrow{W}   \rangle ^2  }{U}}

U=  \langle    \langle   \overrightarrow{V}     |   \overrightarrow{V}      \rangle  .   \overrightarrow{W}  |    \langle    \overrightarrow{V}       |   \overrightarrow{V}      \rangle   . \overrightarrow{W}     \rangle  .   \langle   \overrightarrow{V}       |    \overrightarrow{V}      \rangle   +   \langle     \langle     \overrightarrow{V}    |     \overrightarrow{W}  \rangle  .     \overrightarrow{V}  |    \langle    \overrightarrow{V}   |   \overrightarrow{W}    \rangle   .    \overrightarrow{V}  \rangle  .   \langle    \overrightarrow{V}      |     \overrightarrow{V}      \rangle  -2.   \langle     \overrightarrow{V}    |    \overrightarrow{W}   \rangle  ^2  .   \langle  \overrightarrow{V}      |     \overrightarrow{V}  \rangle    ^2



On pose le point L_1 est l'image du point N_1 sur la droite  \Delta _M et on pose le point  L_2 est l'image du point N_2 sur la droite  \Delta _M

on obtiens L_1=N_1-( \overrightarrow{V} *  \overrightarrow{MN_1}  ) et  L_2=N_2-( \overrightarrow{V} *  \overrightarrow{MN_2}  )

on pose le vecteur \overrightarrow{L}= \overrightarrow{L_1L_2}  

alors on determine le réel x\in \mathbb {R} selon

--lorsque L_1=R_M alors x=0

--lorsque \langle   \overrightarrow{   L_1R_M    }  |    \overrightarrow{  L     }   \rangle   -  \sqrt {\langle    \overrightarrow{     L_1R_M      }  |   \overrightarrow{     L_1R_M      }    \rangle   .  \langle   \overrightarrow{   L    }   |    \overrightarrow{  L     }   \rangle  }=0

alors x=\frac {||     \overrightarrow{     L_1R_M      }   || }{||   \overrightarrow{   L    }    || }

--lorsque \langle   \overrightarrow{   L_1R_M    }  |    \overrightarrow{  L     }   \rangle   +  \sqrt {\langle    \overrightarrow{     L_1R_M      }  |   \overrightarrow{     L_1R_M      }    \rangle   .  \langle   \overrightarrow{   L    }   |    \overrightarrow{  L     }   \rangle  }=0

alors x=\frac {-||     \overrightarrow{     L_1R_M      }   || }{||   \overrightarrow{   L    }    || }

Posté par Profil amethystere : Théorème d'usage courant 17-12-15 à 03:20

je donne un exemple numérique

on se donne M=\begin {pmatrix}-1\\2\\3\end {pmatrix} , \overrightarrow {V}=\begin {pmatrix}-7\\5\\1\end {pmatrix} ,N=\begin {pmatrix}\\ 4 \\-13  \\-6  \end {pmatrix} , \overrightarrow {W}=\begin {pmatrix}3\\-11\\2\end {pmatrix} et R_M=\begin {pmatrix}\\ 24.9 \\-16.5  \\-0.7  \end {pmatrix}

on obtiens R_N=\begin {pmatrix}\\ 10.425675675675... \\-36.560810810810...  \\-1.716216216216...  \end {pmatrix} appartiens à la droite \Delta _N

et de plus on verifie \langle  \overrightarrow { V}  |    \overrightarrow { R_MR_N } \rangle =0

Posté par
lafol Moderateurre : Théorème d'usage courant 17-12-15 à 14:31

amethyste @ 16-12-2015 à 08:00



alors on recherche le point R_N qui appartiens à la droite \Delta _N et tel que son image sur la droite \Delta _M soit le point R_M




"son image" ? son image par quoi ? c'est peut-être bien là, que tu fais intervenir une structure euclidienne ?

Posté par Profil amethystere : Théorème d'usage courant 17-12-15 à 16:47

Bonjour camarade Lafol (en fait oui )

On recherche R_N qui est situé sur la droite \Delta _N

on dispose de son image sur la droite \Delta _M et qui est le point R_M

son image R_M est telle que   \langle  \overrightarrow { V}  |    \overrightarrow { R_MR_N } \rangle =0

------------------------------------------------------------------

donc à partir d'un point quelconque N situé sur la droite  \Delta _N et d'un vecteur directeur \overrightarrow {W} de cette droite \Delta _N  et d'un point quelconque M (ce point là est un peu inutile puisqu'on dispose déjà du point  R_M ) est un point situé sur la droite  \Delta _M et d'un vecteur directeur \overrightarrow {V} de cette droite \Delta _M et tels que les droites  \Delta _M et \Delta _N ne sont ni confondues ni parallèles

et d'un point quelconque R_M situé sur la droite   \Delta _M

on a ainsi obtenu le point recherché

  R_N=\begin {pmatrix}\\ 10.425675675675... \\-36.560810810810...  \\-1.716216216216...  \end {pmatrix} qui appartiens à la droite \Delta _N

je reviens pour un autre énoncé un peu plus compliqué (et dont la solution est peu longue  à écrire mais dont l'avantage est d'utiliser pleinement ce théorème)

Posté par
lafol Moderateurre : Théorème d'usage courant 17-12-15 à 17:04

tu n'as toujours pas dit "image" par quelle transformation ....

Posté par Profil amethystere : Théorème d'usage courant 17-12-15 à 17:09

salut mais c'est clair camarade


je dit image l'unique condition  qui fait que le produit scalaire des vecteurs  \overrightarrow { V} et    \overrightarrow { R_MR_N } est nul

dans ce cas précis le point R_N est unique

Posté par Profil amethystere : Théorème d'usage courant 17-12-15 à 17:26

plus précisément (et c'est ce que j'entendait par là en disant queR_Mest l'image de R_N)

d'une part verifier \langle  \overrightarrow { V}  |    \overrightarrow { R_MR_N } \rangle =0

et d'autre part verifier que quelque soit X est un point de \Delta _N alors

||  \overrightarrow { R_MR_N }||\leq ||\overrightarrow {R_MX }||

alors dans ce cas le point recherché  R_N est effectivement unique

Posté par Profil amethystere : Théorème d'usage courant 19-12-15 à 11:49

si on veut écrire un truc rigoureux (je l'avais pas fait mais il vaut mieux le faire  ...) ça donne

R_N \in \Delta _N est unique selon:

(  \langle  \overrightarrow { V}  |    \overrightarrow { R_MR_N } \rangle =0  )\land ((  \forall  X\in \Delta _N ,\langle  \overrightarrow { V}  |    \overrightarrow { R_MX } \rangle =0    )  \Rightarrow (||  \overrightarrow { R_MR_N }||\leq ||\overrightarrow {R_MX }||))


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