Aider moi je vous en supplie!!!!!!!!!

a l'aide du théorème de la médiane démontrer que dans un triangle
quelconque la somme des carrés des médianes est égale aux trois quarts
de la somme des carrés des cotés

** message déplacé **

a l'aide du théorème de la médiane démontrer que dans un triangle

quelconque la somme des carrés des médianes est égale aux trois quarts

de la somme des carrés des cotés

** message déplacé **

bonjour permettez moi de vous répondre

soient A' le milieu de BC, B' lemilieu de AC et C' le milieu
de AB:

il s'agit de montrer que :

AA'²+BB'²+CC'²=3/4(AB²+BC²+CA²)?


on a:

2AA'=AB+AC et 2BB'=BA+BC et 2CC'=CA+CB

car A', B' et C' sont les milieux de BC,AC,AB respectivement.

2AA'=AB+AC donc
4AA'²=(AB+AC)²
         =AB²+AC²+2AB.AC   ; AB.AC=produit scalaire de AB et BC.

de même:
4BB'²=BA²+BC²+2BA.BC
4CC'²=CA²+CB²+2CA.CB

donc

4AA'²+4BB'²+4CC'²
=(AB²+AC²+2AB.AC)+(BA²+BC²+2BA.BC)+(CA²+CB²+2CA.CB)
= 2AB²+2BC²+2CA²+(2AB.AC+2BA.BC+2CA.CB)

d'autre part:
2AB.AC+2BA.BC+2CA.CB=
= (AB.AC+BA.BC)+(AB.AC+CA.CB)+(BA.BC+CA.CB)
= AB.(AC-BC)+AC.(AB-CB)+BC.(BA-CA)
= AB.AB+AC.AC+BC.BC
=AB²+AC²+BC²

donc

4AA'²+4BB'²+4CC'²=2AB²+2BC²+2CA²+(AB²+AC²+BC²)
                                  =3AB²+3AC²+3BC²
                                  =3(AB²+AC²+BC²)

donc

4(AA'²+BB'²+CC'²)=3(AB²+AC²+BC²)

donc

AA'²+BB'²+CC'²=3/4(AB²+AC²+BC²)

voila

bon courage