n'oublie pas le théorème de la médiane ! si I est le milieu de [CB] alors
pour tout point M, MC²+MB²= 2 MI²+BC²/2 ou 2 MI²= MC²+MB² - BC²/2

1) le système (A,2),(B,1),(C,-1) admet un barycentre G défini par
2 GA + GB - GC = 0 (vect nul, ya les flèches partout)

2 MA²+ MB² - MC² = 30 s'écrit 2(MG+GA)²+(MG+GB)²-(MG+GC)²=30 (mets les flèches)
en développant et en tenant compte de 2 GA + GB - GC = 0 , on obtient :

2 MG² + 2 GA²+GB²-GC² = 30

or 2 GA = GC - GB = BC d'où GA = BC/2 (place G sur ta figure)
alors GAIB ET GACI sont deux parallélogrammes donc GB = AI et GI = AC (ce st des vecteurs)
d'après la formule de la médiane, on a 2 AI²= AC²+AB² - BC²/2 = 23
de même GB²+GC²=2 GI²+BC²/2 or GI=AC
donc GC²= 2 AC²+BC²/2-GB²

on a donc :
2 MG² + BC²/2+GB²-2AC²-BC²/2+GB²=30
2 MG² - 2 AC²+ 2 GB²= 30 mais 2 GB² = 2 AI² = 23
2 MG²=30+72-23=79
MG² = 79/2 (vérifie les calculs, la démarche est garantie)

dans l'espace, l'ensemble des points M est la sphère de centre G, de rayon racine(79/2)

2)MA²+ 2MB² - 3MC² = 30

Cette fois le syst (A,1),(B,2),(C,-3) n'admet pas de barycentre .
on a :
MA²+ 2MB² - 3MC² = 30 s'écrit (MC+CA)²+2(MC+CB)²- 3 MC²=30 (mets les flèches)

en développant on a :
2 MC.(CA + 2 CB)+ CA²+ 2 CB² = 30 car les MC² s'annulent
or CB = AG donc 2 CB = 4 AG = AJ (place J sur ta figure)
2 MC.CJ+ 25+ 72 = 30 d'où 2 CM.CJ = -67 (sauf erreur de calcul)
si K est le projeté orthogonal de M sur (CJ)
donc l'ens des points M est le plan passant par K et admettant CJ pour vecteur normal.

si tu trouves plus simple, tu me signales. ok? merci d'avance

Chantal (tamatave-MADAGASCAR)

Je comprend ( Pour l'instant car j'ai pas fini de tout regarder ) le raisonnement. Mais il y a certains point que je ne comprend rien ...
Je n'arrive pas à trouver le développement qui mène à 2(MG+GA)²+(MG+GB)²-(MG+GC)²=30

Et je ne comprend pas pourquoi  2 AI²= AC²+AB² - BC²/2 = 23 ( c'est le 23 que je comprend pas, il vient d'où ? )

En tout cas merci déjà pour toute cette explication !

Bonjour,

c'est la relation de CHASLES !
MA = MG + GA et tu mets au carré mais attention qd tu développeras car les doubles produits sont des produits scalaires.
MA² = (MG+GA)²= MG²+ 2 MG.GA + GA²
idem pour les 3 autres

n'oublie pas le théorème de la médiane ! si I est le milieu de [CB] alors
pour tout point M, MC²+MB²= 2 MI²+BC²/2
                  ou 2 MI²= MC²+MB² - BC²/2

Ici j'ai fait M=A ... remplace, tu verras !

D'où vient 23? sauf erreur de calcul, on a AB=4, AC=5 et BC=6
donc AC²+AB² - BC²/2 = 25 + 16 - 18 = 23 (donc je confirme)

çà va mieux ?

Sa y est j'ai enfin compris ! Merci beaucoup !