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Théorème des valeurs intermédiaires .

Posté par
bouchaib
25-09-19 à 00:32

Bonsoir,
j'ai un exercice pour consolider cette notion mais j'ai pensé que les données ne sont pas complets , l'exercice est le suivant :
f est une fonction continue sur [1,2]telle que x[1,2] on a f(x)[1,2]
Montrer que l'équation f(x)=x admet au moins une solution dans l'intervalle [-1,2].
s'il vous plait , déjà on change d'intervalle au début de l'exercice [1,2]  et dans la question il me fallait considérer  [-1,2]. je trouve qu'il y a aberration .
merci par avance de votre aide .

Posté par
LeHibou
re : Théorème des valeurs intermédiaires . 25-09-19 à 00:41

Bonsoir,

C'est effectivement une typo, il faut montrer que l'équation f(x)=x admet au moins une solution dans l'intervalle [1,2].

Un exercice très classique et très instructif !

Posté par
bouchaib
re : Théorème des valeurs intermédiaires . 25-09-19 à 01:10

bonsoir ,
mais la question sur [-1,2] et non [1,2] on nous a donné deux intervalles différents.
j'ai admis cette donnée comme correcte et j'ai g(x) = f(x)-x
j'ai encadré  cette nouvelle fonction :
   -1<x<2 et  1<f(x)<2 et donc -1f(x)-x3
Donc : f(x)= x admet au moins une solution sur[-1,2] car g([-1,2])=[-1,3]  ..... nous passons par l'axe des abscisses forcement  , g(x)<0 et g(x)>0
mais j'ai des doutes.

Posté par
bouchaib
re : Théorème des valeurs intermédiaires . 25-09-19 à 01:26

bonsoir
et si on on se contente de [1,2]
je fais l'encadrement de  g(x)=f(x)-x ; je trouve -1g(x)1 .  g(x ) prends au moins une valeur (-) et au moins une valeur (+) donc passe par l'axe des abscisses car g(x) est continue sur [1,2] comme étant différence de 2 fonction continues sur cette intervalle.
voilà mon essai .
est-ce bon?
merci de m'évaluer .

Posté par
naghmouch
re : Théorème des valeurs intermédiaires . 25-09-19 à 08:39

Bonjour.

  1)  -1<x<2   comment encadrer  -x  ?

  2)  Si l'équation f(x)=x admet au moins une solution dans l'intervalle [1,2]
           cette  solution est bien  dans  [-1,2]
3) On a :  
                      g(1) = f(1) - 1  comparer  f(1) et 1
                      
                      g(2) = f(2) - 2  comparer  f(2) et 2

     utiliser  théorème  des valeurs intermédiaires

Posté par
bouchaib
re : Théorème des valeurs intermédiaires . 25-09-19 à 08:59

Bonjour
On n'a pas donner l'expression de f .
Seules données sont celles ci-dessus.
Donc j'ai traillé avec ces données et l'intervalle d'etude est [1,2]et no
[-1,2].
Est-ce ma solution possible ?

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Théorème des valeurs intermédiaires . 25-09-19 à 09:05

Bonjour bouchaib,
Peux-tu mettre à jour ton profil qui indique 3ème comme niveau ?
(modérateur)

Posté par
bouchaib
re : Théorème des valeurs intermédiaires . 25-09-19 à 09:28

Bonjour .

C'est fait merci de m'accueillir parmi vous.
C'est très utile pour moi.
Merci encore.

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Théorème des valeurs intermédiaires . 25-09-19 à 09:46

Bon
Pour ton énoncé :
Il y a visiblement une coquille. Avec "f est une fonction continue sur [1,2]" au départ, envisager [-1,2] ensuite ne peut être qu'une erreur.
Mais si tu démontres que l'équation f(x)=x admet au moins une solution dans l'intervalle [1,2], tu auras aussi démontré que l'équation f(x)=x admet au moins une solution dans l'intervalle [-1,2] \;
C'est ce que naghmouch explique dans son 2).

Citation :
g(x ) prends au moins une valeur (-) et au moins une valeur (+)
Il faut exhiber où. N'oublie pas que x[1,2] on a f(x)[1,2]

En résumé : Relire 2) et 3) de naghmouch.



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