Soit un intervalle non vide et non réduit à une seule valeur de
Intuitivement, une fonction continue sur est une fonction dont on peut représenter dans un repère du plan la courbe représentative
sans lever le crayon.
Dans tout ce qui suit, est un intervalle non vide et non réduit à une seule valeur. De plus,
est une valeur de .
Définition 1
Soit une fonction définie sur l'intervalle . On dit que est continue en si
Remarque importante : Pour les fonctions définies de façon différente à gauche et à droite de , on montre la continuité en calculant les limites à droite et à gauche de .
Exemples : 1-La fonction est continue au point , en effet :
2-Étudions la continuité en de la fonction définie sur par On a :
Il s'ensuit et donc n'admet pas de limite au point .
Ce qui implique que ne peut pas être continue en .
Définition 2
Soit une fonction définie sur l'intervalle . On dit que est continue sur si est continue en tout point de
Exemples (admis): Les fonctions polynômes, les fonctions rationnelles, la fonction racine carrée et les fonctions trigonométriques sinus, cosinus et tangente sont continues sur tout intervalle inclus dans leurs ensembles de définition respectifs.
Théorèmes (admis)
Soient et deux fonctions continues en (respectivement sur )
si réel, alors est continue en (respectivement sur )
alors est continue en (respectivement sur )
alors est continue en (respectivement sur )
Exemples: 1- La fonction définie sur par: est continue sur car elle est la somme des deux fonctions et continues sur .
2- La fonction est une fonction continue sur comme produit des deux fonctions continues sur cet intervalle.
Supplément : La fonction partie entière
Définition
La fonction partie entière est une fonction qui associe à chaque réel sa partie entière, On la note ou
On sait que chaque réel peut être encadré par deux entiers relatifs consécutifs et , la partie entière de n'est autre que l'entier rélatif Par exemple :
Représentation graphique de la fonction partie entière :
Propriété :
La fonction partie entière n'est pas continue en chaque entier relatif .
Par contre, elle est continue sur tous les intervalles
Composée de deux fonctions continues
Soit une fonction définie sur , une fonction définie sur un intervalle contenant et un réel de .
Si est continue en et si est continue en alors est continue en .
Si est continue sur et si est continue sur , alors est continue sur .
Exemple : La fonction est continue sur comme composée des deux fonctions continues sur .
Théorèmes des valeurs intermédiaires
1-Cas général: Soient et deux réels tels que et soit une fonction continue sur .
Pour tout réel compris entre et , l'équation amdet au moins une solution sur .
2-Cas paticulier des fonctions strictement monotones : Soient et deux réels tels que et soit une fonction continue et strictement monotone sur .
Pour tout réel compris entre et , l'équation amdet une solution unique sur .
Remarque : Dans le cas , on vérifie .
Exemple : Montrer que l'équation admet une solution sur l'intervalle L'équation est équivalente à On pose la fonction définie sur par: L'équation en question s'écrit: Le domaine de définition de est:
Or
Donc est définie et continue sur comme somme des deux fonctions et continues sur De plus: Alors : Et on conclut, d'après le théorème des valeurs intermédiaires, que l'équation admet au moins une solution sur .
Donc : l'équation admet une solution sur l'intervalle
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un intervalle non vide et non réduit à une seule valeur de 
est une valeur de 
est continue au point 
, en effet : =\lim_{x\to 0}|x|=0=f(0))
définie sur =\dfrac{1}{x+2} \text{ si }x<0 \\ g(x)=\sqrt{x}+1 \text{ si } x\geq 0 \end{array} )
=\lim_{x\to 0^-}\dfrac{1}{x+2}=\dfrac{1}{2})
=\lim_{x\to 0^+}\sqrt{x}+1=1)
\neq \displaystyle\lim_{x\to 0^+}g(x))
et donc 
définie sur = x^2+3x-5+\sin(x))
est continue sur 
et )
continues sur 
est une fonction continue sur ![]0;+\infty[](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?]0;+\infty[)
comme produit des deux fonctions 
continues sur cet intervalle.
peut être encadré par deux entiers relatifs consécutifs 
et 
, la partie entière de =n \text{ avec } n\leq x<n+1)
=1\; \text{ puisque } \; 1\leq 1,456< 2)
=2 \;\;\text{ car } \;2\leq\dfrac{7}{3}\approx 2,333<3)
=-4\; \text{ puisque } \; -4\leq -\sqrt{13}\approx-3,6< -3)
=n-1 \text{ et } \displaystyle\lim_{x\to n^+}\text{E}(x)=n)
)
est continue sur  \text{ et } x\mapsto x^2-3x+7)
continues sur 
, on vérifie f(b)<0)
.
admet une solution sur l'intervalle ![[1;2]](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?[1;2])
=0)
![\begin{array}{cll} \\\mathcal{D}_f &=& \lbrace x\in\mathbb{R} \text{ tel que } x+1\neq 0 \rbrace \\ &=&\lbrace x\in\mathbb{R} \text{ tel que } x\neq -1 \rbrace \\ &=& ]-\infty;-1[\cup ]-1;+\infty[ \\ \end{array}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\begin{array}{cll} \\\mathcal{D}_f &=& \lbrace x\in\mathbb{R} \text{ tel que } x+1\neq 0 \rbrace \\ &=&\lbrace x\in\mathbb{R} \text{ tel que } x\neq -1 \rbrace \\ &=& ]-\infty;-1[\cup ]-1;+\infty[ \\ \end{array} )
![[1;2]\subset]-1;+\infty[](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?[1;2]\subset]-1;+\infty[)
et 
continues sur =\dfrac{5}{2}-1=\dfrac{3}{2} \text{ et } f(2)= \dfrac{7}{3}-4=-\dfrac{5}{3})
f(2)<0)
=f(a))
réel, alors 
est continue en 
est continue en 
est continue en )
ou ![x\mapsto [x]](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?x\mapsto [x] )
.
![]n,n+1[](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?]n,n+1[)
contenant )
et )
alors 
est continue en 
deux réels tels que 
et soit ![[a,b]](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?[a,b])
.
compris entre )
, l'équation =\lambda)
amdet au moins une solution sur 
