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tirages au hasard de cinq boules indescernables au toucher une à
Bonsoir, j'ai un DM de math à faire mais je ne trouve pas les réponses.
Pouvez vous m'aider ?
On a placé dans une urne cinq boules indiscernables au toucher : trois noires (N1,N2,N3) et deux blanches (B1,B2).
On tire au hasard une à une toutes les boules de cette urne et on appelle R le rang de la première boule blanche tirée.
1°) Quelles sont les valeurs prises par R ? Déterminer la loi de probabilité de R.
2°) Calculer l'espérance et la variance de R.
1°) Les valeurs prises par R sont 1, 2, ou 3
Pour trouver la loi de probabilité j'ai commencé à écrire touts les possibilités de tirage :
N1N2N3B1B2 N1N2N3B2B1 N1N2B1N3B2 etc le problème est qu'il y en a énormément. Je voudrais donc connaître un autre moyen de trouver les variables aléatoires de R.
Merci d'avance de vos réponses.
Bonsoir,
R peut aussi prendre la valeur 4 : c'est le cas si les 3 premières boules tirées sont noires.
Calcul des probabilités, par exemple P(R=2) : "R=2" signifie "la 1ère boule tirée est noire et la 2ème boule tirée est blanche";
- proba que la 1ère soit noire = 3/5,
- proba que la 2ème soit blanche sachant que la 1ère est noire = 2/4,
donc P(R=2) = (3/5)(2/4) = 3/10.
A toi pour les autres !
oui j'ai fait une erreur j'ai résonné comme s'il y avait 3 boules blanches et 2 boules noires :S
voici mais résultats :
P(R=1)=2/5
P(R=2)=3/10
P(R=3)=1/10
P(R=4)=1/36
espérance : 127/90
écart type : 1,41
Pour trouver les probabilités des variables aléatoires j'ai dû écrire les 120 possibilités de tirage. Je voudrais savoir s'il est possible d'éviter cette "corvée" en calculant directement ces probabilités au lieux de les compter.
( merci de votre réponse PIL 
)
Bonjour,
Tu sais que la somme des probabilités P(R=1) + P(R=2) + ... doit être égale à 1 . Ce n'est pas le cas chez toi, donc ...
Je trouve comme toi pour les 2 premières valeurs, pas pour les deux suivantes. Pour éviter le long dénombrement que tu as fait, utilise la règle suivante :
P(A et B) = P(A)P(B|A)
où P(B|A) désigne la probabilité conditionnelle de B sachant que A est réalisé. C'est ce que j'ai fait dans mon post précédent : A = "la 1ère boule tirée est noire" et B = "la 2ème boule tirée est blanche";
- il est clair que P(A) = 3/5;
- pour P(B|A) : puisqu'on a tiré une boule noire au 1er tirage, l'urne contient 4 boules, 2 noires et 2 blanches, donc P(B|A) = 2/4;
ainsi P(R=2) = P(a et B) = P(A)P(B|A) = (3/5)(2/4) = 3/10.
Tu appliques le même principe pour P(R=3) avec
P(A et B et C) = P(A)P(B|A)P(C|AetB)
et pour P(R=4).
A toi !
p(R=3)=p(A et B et C)=p(A)p(B|A)p(C|A et B)
p(A)=3/5
p(B|A)=2/4=1/2
p(C|A et B)=2/3
donc p(R=3)=(3/5)(2/4)(2/3)=6/30=1/5
La somme des probabilités est égale à 1 donc p(R=4)=1-(p(R=3)+p(R=2)+p(R=1)=1/10
Pour vérifier j'utilise la formule
p(R=4)=p(A et B et C et D)=p(A)p(B|A)p(C'|A et B)p(D|A et B et C')
C':"la 3eme boule est noire"
Je trouve bien 1/10
espérance : 2
écart type : 1
Est-ce correct ?
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