Comme les calculs doivent être un peu compliqués, ce serait dommage de se lancer sur un énoncé mal compris.

- chacun des convives pose une pièce devant lui. Pile ou Face, aléatoirement.
- On tire au hasard un ordre de passage. Chacun des n invités va donc  faire ce qui suit :
- La personne désignée retourne sa propre pièce,  et retourne la pièce de son voisin de gauche. Si c'est Pile qui apparaît, il s'arrête et passe le témoin au convive suivant. Sinon il continue, jusqu'à ce que Pile apparaisse.

Et quand les n convives ont fait cette manipulation chacun une fois, le jeu s'arrête, et on compte le nombre de Pile et le nombre de Face.
Mieux que ça, on regarde la disposition des Piles et des Faces !

On a donc 2^n  dispositions possibles (moins,parce qu'il y a au moins un Pile ...)   et on veut connaître la proba de chacune de ces 2^n dispositions.

L'ambiguïté, c'est surtout sur ce qui se passe si un joueur a sa propre pièce sur Face. Quand il la retourne, il obtient Pile. J'ai considéré qu'il retournait la pièce du voisin ... mais je ne suis pas sûr.

Judicieuse précaution : dès qu'il retourne une pièce et qu'il voit pile, le convive s'arrête y compris si c'est sa propre pièce donc non dans ton cas il s'arrête après un seul retournement.
Pour tout le reste, on est d'accord, désolée de ne pas avoir été suffisamment claire

Les calculs sont plus ou moins compliqués en fonction de comment on s'y prend mais il devrait y avoir de quoi impressionner nos convives

Bonjour,

Si on part avec tous "face", on se retrouve à la fin avec tous "pile".
Si on part avec tous "pile", on se retrouve aussi à la fin avec tous "pile"
Se pourrait-il qu'on se retrouve toujours avec tous "pile" à la fin ?

Après quelques simulations,
Si on part tous avec "face", on se retrouve à la fin avec tous "pile".
Sinon ...

Si on fait ça dans le cas d'un dîner en tête-à-tête, on voit que ce n'est pas le cas. Se pourrait-il qu'on retrouve toujours la situation de départ, sauf dans le cas où tout le monde est "face" ?

Il semblerait, en effet.

Effectivement, il semblerait bien que GBZM ait raison dans sa dernière version mais pourquoi donc ?
On a un convive récalcitrant qui ne vous croit pas sur parole et on ne peut pas lui en vouloir

Une petite suggestion si quelqu'un cherche encore une démonstration.
Les retournements se répandent de proche en proche tant qu'il y a des piles et s'arrêtent dès qu'il y a face, à quelle opération mathématiques cela vous fait penser ?

OK d'accord, joli, On travaille modulo et on écrit les entiers de 0 à en binaire.  On choisit arbitrairement un convive comme point de départ (n° 0) et on le numérote dans le sens des aiguilles d'une montre. Pour chaque convive on note  1 si sa pièce montre pile. 0 si c'est face (n bits en tout, donc un entier de 0 à ).  Quand le convive n°i fait ce qu'il a à faire, il ajoute modulo . Quand tous les convives ont joué, on a ajouté , c.-à-d. 0 modulo . Rien n'a changé sauf si on est parti de tous "pile" ( en binaire), auquel cas on se retrouve à la fin avec 0 en binaire (tous face).

Bien joué GBZM, belle démonstration qui devrait convaincre tout le monde.
Aucun calculs compliqués contrairement à ce qu'on pouvait craindre initialement.