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Tracé la courbe d'une fonction

Posté par
Mounkaila144
11-05-19 à 22:36

Soit f la fonction définie sur ]0; 1[ par f(x)=x-2\sqrt{x}+1
Tracer la courbe C de la fonction f

f'(x) =\frac{\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}}<0 pour tout x appartien de  ]0; 1[
Et je trouve le tableau de variation suivant après je ne sai plus comment faire pour tracer la courbe

Tracé la courbe d\'une fonction

Posté par
alb12
re : Tracé la courbe d'une fonction 11-05-19 à 22:47

salut, comment fais-tu d'habitude ?

Posté par
Mounkaila144
re : Tracé la courbe d'une fonction 11-05-19 à 23:00

Je cherche les asymptote en -l'infini et à + l'infini
Mais là là fonction est just définie sur ]0; 1]

Posté par
alb12
re : Tracé la courbe d'une fonction 11-05-19 à 23:16

tu as peut etre une calculatrice avec un menu table

Posté par
Mounkaila144
re : Tracé la courbe d'une fonction 11-05-19 à 23:18

Malheureusement on n'a pas le droit d'utiliser les calculatrice qui peuvent tracer des fonction c'est strictement interdit

Posté par
mathafou Moderateur
re : Tracé la courbe d'une fonction 11-05-19 à 23:19

Bonjour,



pour tracer une courbe on trace un certain nombre de points de cette courbe et on les relie
plus on aura de points et plus le tracé sera précis

et c'est tout et point barre.
on peut améliorer le tracé en traçant les tangentes en certains de ces points

Posté par
alb12
re : Tracé la courbe d'une fonction 12-05-19 à 08:00

est-il possible d'avoir l'enonce en entier ?
On demande une conjecture sur le graphe ?

Posté par
carpediem
re : Tracé la courbe d'une fonction 12-05-19 à 08:41

salut

f(x) = x - 2 \sqrt x + 1 = (\sqrt x - 1)^2 = (1 - \sqrt x)^2

1/ tracer la courbe de la fonction racine
2/ tracer son opposé
3/ ajouter 1 <=> .... (traduction géométrique)
4/ élever au carré

autre méthode :

1/ tracer la courbe de la fonction x --> -2 r(x)
2/ tracer la courbe x --> x + 1
3/ "ajouter" les deux

Posté par
mathafou Moderateur
re : Tracé la courbe d'une fonction 12-05-19 à 08:55

de toute façon il est intéressant de prolonger f(x) sur l'intervalle fermé [0; 1]
rien n'empêche de calculer les points d'abscisses 0 et 1 de cette courbe prolongée !!
quitte à les retirer ensuite de la courbe (ce qui bien entendu ne se voit pas sur un dessin)

ce n'est pas parce que la dérivée n'est pas définie en 0 que la courbe elle même ne l'est pas !
ni qu'on ne peut tracer la tangente en 0 (par une limite) et encore moins en 1.
ça aide à tracer une courbe

pour obtenir des points "à la main" sans calculette, on peut choisir des valeurs de √ x puis en déduite x = (√x)² ...

par exemple si je choisis √x = 0.9 alors x = 0.81 et je peux calculer très facilement l'ordonnée de ce point sans aucune calculette du tout.

etc.
à répéter autant que nécessaire , par exemple entre 0 et 1 par pas de 0.1 ce qui donne 11 points de la courbe en comptant x = 0 et x = 1
ainsi que les tangentes en les extrémités (immédiates).
avec ça le tracé à main levée de la courbe s'en déduit.

Posté par
Mounkaila144
re : Tracé la courbe d'une fonction 12-05-19 à 09:29

alb12 @ 12-05-2019 à 08:00

est-il possible d'avoir l'enonce en entier ?
On demande une conjecture sur le graphe ?

Soit f la fonction définie sur ]0; 1[ par f(x)=x-2\sqrt{x}+1
1.etudier les variation de f
2.demontrer que fof(x)=x
3.Tracer la courbe C de la fonction f (unité graphique 10cm)

Posté par
alb12
re : Tracé la courbe d'une fonction 12-05-19 à 10:38

Mounkaila144 @ 11-05-2019 à 23:18

Malheureusement on n'a pas le droit d'utiliser les calculatrice qui peuvent tracer des fonction c'est strictement interdit

que le grapheur soit interdit admettons
mais on peut trouver des points à la calculatrice

Posté par
Mounkaila144
re : Tracé la courbe d'une fonction 12-05-19 à 10:39

Oui on peut trouver

Posté par
alb12
re : Tracé la courbe d'une fonction 12-05-19 à 10:42

cette question ne merite pas qu'on s'y attarde, un eleve de seconde le ferait sans peine

Posté par
Mounkaila144
re : Tracé la courbe d'une fonction 12-05-19 à 10:47

C'est just qu'on jamais tracer des courbe en cherchant des point
Ont la toujours fait en cherchant les branches infini les asymptote

Posté par
carpediem
re : Tracé la courbe d'une fonction 12-05-19 à 12:17

Mounkaila144 @ 12-05-2019 à 10:47

C'est just qu'on jamais tracer des courbe en cherchant des point
Ont la toujours fait en cherchant les branches infini les asymptote
peut-être est-il temps d'arrêter de travailler comme une machine et de réfléchir à ce que tu fais et pourquoi tu le fais ...

Posté par
alb12
re : Tracé la courbe d'une fonction 12-05-19 à 12:43

En general cet exercice se termine par:
la courbe est-elle un quart de cercle ?

Posté par
alb12
re : Tracé la courbe d'une fonction 12-05-19 à 12:45

si oui cela faciliterait le trace !

Posté par
mathafou Moderateur
re : Tracé la courbe d'une fonction 12-05-19 à 18:36

Mounkaila144

C'est just qu'on jamais tracer des courbe en cherchant des point
mort de rire ...
tu n'as jamais rien compris à ce que vous avez toujours fait plutôt, oui.
on ne dit pas d'en chercher, on dit d'en choisir.
une liste arbitraire de points que l'on va reporter sur le repère

alb12

la courbe est-elle un quart de cercle ?
"visiblement non"

d'ailleurs de y = x -2\sqrt{x} +1
on tire
y-x-1 = -2\sqrt{x} qui est une partie de la courbe (y-x-1)^2 = 4x
(l'autre partie est y-x-1 = +2\sqrt{x}
et en développant, le terme en "-2xy" interdit que cela soit un cercle
(dans un exercice cela se prouverait autrement en fait)

c'est en vrai un morceau de parabole dont l'axe est la première bissectrice (la droite y = x)

Tracé la courbe d\'une fonction

et comme une parabole n'a pas d'asymptote, les histoires d'asymptotes on peut s'assoir dessus !!
je voudrais bien voir d'ailleurs, Mounkaila144, quelles "asymptotes" vous avez bien pu tracer pour tracer la courbe y = x² !!

d'ailleurs c'est général
on trace des asymptotes pour faciliter le tracé d'une courbe quand celle ci en a !
et histoire de les mettre en évidence parce que ce sont une caractéristique très remarquables de certaines courbes, de même que les points à tangente horizontale ou verticale, les points d'inflexion, certaines tangentes etc

mais dans TOUS les cas, asymptotes ou pas, on trace une courbe toujours en traçant un plus ou moins grand nombre de points de la courbe
point barre

d'ailleurs en interne une calculatrice ou un logiciel font exactement pareil !! ils calculent un bon paquet de points isolés de la courbe et les relient par des morceaux lissés (in fine des petits bouts de droite, réduits au pire à un seul pixel de long)

sauf si c'est une droite ou un cercle pour lesquelles on les trace à la règle ou bien au compas (à partir de deux points, si , si !!! si c'est une droite !)

ou avec des algorithme genre Bresenham ou dérivés dans une machine, de nos jours personne ne s'en inquiète vu que c'est fait directement dans la puce graphique de l'ordi !
sauf les concepteurs de puces graphique bien sûr...

Posté par
alb12
re : Tracé la courbe d'une fonction 12-05-19 à 21:46

Dommage de pas avoir laisse Mounkaila144 chercher un peu.

Posté par
mathafou Moderateur
re : Tracé la courbe d'une fonction 12-05-19 à 22:09

je ne vois pas où j'ai répondu aux questions de l'énoncé tel que donné le 12-05-19 à 09:29

à part avoir une idée de la courbe que de toute façon le demandeur refuse de tracer comme on lui dit de le faire, en s'entêtant sur des trucs absurdes d'asymptotes...

Posté par
alb12
re : Tracé la courbe d'une fonction 12-05-19 à 22:26

je parlais de la nature de la courbe que son prof va peut etre faire en classe.
Du coup Mounkaila144 pourra briller

Posté par
mathafou Moderateur
re : Tracé la courbe d'une fonction 12-05-19 à 22:38

je doute que identifier une conique sur son équation générale soit du programme de Terminale ...

Posté par
alb12
re : Tracé la courbe d'une fonction 13-05-19 à 15:02

il faudrait demontrer en terminale que la courbe n'est pas un arc de cercle.
Pas si simple ?
Peut on prouver la proposition:
si la courbe est un arc de cercle alors le centre de ce cercle est (1;1) ?

Posté par
mathafou Moderateur
re : Tracé la courbe d'une fonction 13-05-19 à 15:32

on peut démontrer que les tangentes à la courbe en les points d'abscisses 0 et 1 sont ... (en étendant comme j'ai suggéré le domaine de définition à [0;1] au lieu de ]0; 1[)

les propriétés élémentaires des tangentes à un cercle vues en collège montrent alors que le centre du cercle si cercle il y a est sur les perpendiculaires à ces tangentes en leur point de contact, donc en l'intersection de ces perpendiculaires

à condition de les avoir déterminées !
mais déterminer ces tangentes est quasi obligatoire au tracé d'une courbe réaliste :

Citation :
de même que les points à tangente horizontale ou verticale, les points d'inflexion, certaines tangentes etc


f'(1) est évident
f'(0) est plus compliqué car n'est pas définie !
on peut toutefois trouver la limite de ce f'(x) quand x --> 0 par valeur supérieures

ayant ainsi défini notre arc de cercle candidat, prouver que la courbe n'en est pas un sera d'exhiber une abscisse pour laquelle le point de la courbe est différent du point de même abscisse sur l'arc de cerce (c'est à dire un contre exemple)

n'importe quelle valeur conviendra
pourquoi pas 1/4 (vu que la racine carrée de 1/4 est facile a déterminer sans aucune calculette)
calculer alors la distance au centre du cercle pour vérifier qu'elle est différente du rayon du cercle.
et c'est terminé.

après, le manque flagrant de toute imagination de la part d'élèves auquel on enseigne pendant des années à ne pas penser ... c'est une autre histoire...

Posté par
carpediem
re : Tracé la courbe d'une fonction 13-05-19 à 16:05

alb12 @ 13-05-2019 à 15:02

il faudrait démontrer en terminale que la courbe n'est pas un arc de cercle.
Pas si simple ?
Peut on prouver la proposition:
si la courbe est un arc de cercle alors le centre de ce cercle est (1;1) ?
ce qui est certain c'est que le centre du cercle hypothétique appartient à la première bissectrice car médiatrice du segement [AB] avec A = (0, f(0)) = (0, 1) et B= (1, f(1)) = (1, 0)

si I(m, m) est le centre de ce cercle (hypo.) alors le carré de son rayon hypo. est r^2 = AI^2 = BI^2 = m^2 + (m - 1)^2

or IM^2 = (x - m)^2 + [f(x) - m]^2 = (x - m)^2 + [(\sqrt x - 1)^2 - m]^2 n'est pas constant

Posté par
Mounkaila144
Fonction 14-05-19 à 17:04

Dans le plan muni d'un repère (o ; i ; j)  on considère les points A(0.5+β; 0) et  B(0; 0.5-β) où β est un réel de [-0.5; 0.5]
On note( D) la droite déterminer par les points A et B
1.Determiner une équation D sous le forme a(β)+b(β)+c(β)=0 où a b et c sont trois fonction derivable de la variable β que l'on déterminera
2.soit D' là droite d'équation a'(β)+b'(β)+c'(β)=0 où a' b' et c' désigne les fonctions dérivé respectives et a b et c
a) vérifié que D et D' sont secante en un point N
b) démontré que les coordonnées de N sont N((0.5+β)2; (0.5-β)2)
3. Démontrer que lorsque N décrit [-0.5; 0.5] N décrit la courbe C définie par f(x)=x-2√x+1
4.demontrer que la droite D est tangente en N à la courbe C

D:y=mx+p
m=\frac{y_B-yA}{x_B-x_A}=\frac{0.5-\beta}{-0.5-\beta}
p=0.5-β
D :y=\frac{0.5-\beta}{-0.5-\beta}x+0.5-β
D :\frac{0.5-\beta}{-0.5-\beta}x-y+0.5-β=0
Donc a(β)=\frac{0.5-\beta}{-0.5-\beta}
b(β)=1
C(β)=0.5-β
Après je ne sais plus comment déterminer β

*** message déplacé ***

Posté par
carpediem
re : Fonction 14-05-19 à 17:07

salut

on ne te demande pas de déterminer m (je note m le paramètre)  mais de déterminer une équation cartésienne a(m)x + b(m)y + c(m) = 0

*** message déplacé ***

Posté par
malou Webmaster
re : Fonction 14-05-19 à 17:10

euh...ça a quelque chose à voir avec cet énoncé ? .... Tracé la courbe d'une fonction

tu ne peux pas déterminer
les quantités a, b et c sont fonctions de
relis ton énoncé

*** message déplacé ***

Posté par
carpediem
re : Fonction 14-05-19 à 17:12

salut malou : j'allais le dire ...

*** message déplacé ***

Posté par
Mounkaila144
re : Fonction 14-05-19 à 17:28

malou @ 14-05-2019 à 17:10

euh...ça a quelque chose à voir avec cet énoncé ? .... Tracé la courbe d'une fonction

relis ton énoncé

Oui c'était la première partie du problème
J'ai cru parvenir à finir le rest moi seul

*** message déplacé ***

Posté par
Mounkaila144
re : Fonction 14-05-19 à 17:29

Mounkaila144 @ 14-05-2019 à 17:04


D :\frac{0.5-\beta}{-0.5-\beta}x-y+0.5-β=0

Donc j'ai déjà fini par répondre à la question alors

*** message déplacé ***

Posté par
malou Webmaster
re : Tracé la courbe d'une fonction 14-05-19 à 17:37

attentionextrait de c_faq la FAQ du forum :

Q03 - Pourquoi ne faut-il pas faire du ''multi-post'' ?



Tracé la courbe d\'une fonction

Posté par
Mounkaila144
re : Tracé la courbe d'une fonction 14-05-19 à 17:55

Mon problème à aussi une partie C
Si je me bloque la dans je fais comment ?
Je peux le poster ici ?
Je veux pas être banni

Posté par
malou Webmaster
re : Tracé la courbe d'une fonction 14-05-19 à 17:59

toutes les parties d'un même problème doivent être écrites dans le même sujet

Posté par
carpediem
re : Tracé la courbe d'une fonction 14-05-19 à 18:46

Mounkaila144 @ 14-05-2019 à 17:29

Mounkaila144 @ 14-05-2019 à 17:04


D :\frac{0.5-\beta}{-0.5-\beta}x-y+0.5-β=0

Donc j'ai déjà fini par répondre à la question alors

*** message déplacé ***
non tu n'as pas répondu à la question !!!
carpediem @ 14-05-2019 à 17:07

salut

on ne te demande pas de déterminer m (je note m le paramètre)  mais de déterminer une équation cartésienne a(m)[b]x + b(m)y + c(m) = 0[/b]
en particulier tu as un quotient qui pose problème vu la définition de m !!!

donc on attend ...

Posté par
Mounkaila144
re : Tracé la courbe d'une fonction 14-05-19 à 20:44

Donc D: (m-0.5)x-(0.5+m)y+(0.25-m2)=0

Posté par
malou Webmaster
re : Tracé la courbe d'une fonction 14-05-19 à 20:49

ça a l'air juste ça
la suite est désormais facile

Posté par
Mounkaila144
re : Tracé la courbe d'une fonction 17-05-19 à 20:59

2. D':2mx-y-2m=0
a) soit u(0.5+m ; m2-0.25)un vecteur directeur de D
Et u'(1; 2m) un vecteur directeur de D'
u.u'=0.5+m-2m2-0.5m\neq0
Donc D et D'sont secante en N
b)  les coordonnées de N
On n'a D:y=\dfrac{m-0.5}{m+0.5}x+0.5-m
Et D': y=2mx-2m
Poson \dfrac{m-0.5}{m+0.5}x+0.5-m=2mx-2m
=>x=\dfrac{(m+0.5)^2}{0.5+m^2}
Jnarrive pas à démontrer les coordonnées de N

Posté par
mathafou Moderateur
re : Tracé la courbe d'une fonction 17-05-19 à 21:29

Bonjour,

quelle salade.

D: (m-0.5)x-(0.5+m)y+(0.25-m2)=0 OK
D' est obtenue en dérivant par rapport à m chacun des coefficients de D

la dérivée de m-0.5 est 1
celle de (0.5+m) aussi
celle de (0.25-m2) est -2m

donc D' : 1x -1y - 2m = 0

etc...

par ailleurs pour vérifier que les droites ne sont pas parallèles ce n'est pas un produit scalaire qu'il faut faire !!

ton dernier calcul ne rime à rien du tout
manquent des développements et réductions intermédiaires pour résoudre vraiment cette équation en l'inconnue x dont le terme constant est -2m+m = -m et n'apparait nulle part dans x = -m/coefficient de x

mais comme de toute façon ce n'est pas ça l'équation ...

le x que l'on trouve (avec les bonnes équations, et résolue correctement) c'est l'abscisse de N
tu alignes des calculs sans savoir où tu vas ni pourquoi tu les fais ??

et son ordonnée c'est en reportant cette abscisse dans l'équation de l'une des deux droites (bien entendu de la plus simple des deux)

Posté par
mathafou Moderateur
re : Tracé la courbe d'une fonction 17-05-19 à 21:41

et puis pour trouver l'intersection de deux droites
ax+by+c = 0
a'x+b'y+c' =0
on résout directement ce système tel qu'il est écrit
sans devoir passer par des équations réduites (qui posent problème si le coefficient de x peut s'annuler car il est variable)

Posté par
Mounkaila144
re : Tracé la courbe d'une fonction 18-05-19 à 20:54

2. D':x-y-2m=0
a) soit u(0.5+m ; m2-0.25)un vecteur directeur de D
Et u'(1; 1) un vecteur directeur de D'
det(u ; u')=1\neq0
Donc D et D'sont secante en N
2.
(m-0.5)x-(0.5+m)y+(0.25-m2)=0
x-y-2m=0

D=1
Dx=(0.5+m)2
Dy=(0.5-m)2
xN=\dfrac{D_x}{D}=(0.5+m)2
yN=\dfrac{D_y}{D}=(0.5-m)2
Dont les résultats à démontrer
Pour les questions 3 et 4 pouvez vous me donnez quelque indice ?

Posté par
carpediem
re : Tracé la courbe d'une fonction 18-05-19 à 21:23

franchement pourquoi faire compliqué quand on peut faire simple :

D a pour équation (2m - 1)x - (2m + 1)y + 0,5 - 2m^2 = 0

D' a pour équation x - y - 2m = 0

a/ on peut le faire avec les vecteurs directeurs et il est évident que les vecteurs u(2m + 1, 2m - 1) et v(1, 1) ne sont pas colinéaires

b/ on donne les coordonnées du point d'intersection N de D et D' ... donc il suffit de vérifier que N appartient à D et D' ... sans avoir besoin de sortir de quelconques formules kabbalistiques ...

3/ revoir l'énoncé ...

il suffit de vérifier que les coordonnées de N vérifient l'équation de C

ou en core que y = f(x) = (\sqrt x - 1)^2

4/ calculer l'équation de la tangente à C au point d'abscisse N et vérifier qu'on obtient (une équation de) D

Posté par
mathafou Moderateur
re : Tracé la courbe d'une fonction 18-05-19 à 21:24

OK,
on peut effectivement faire tout ça avec des déterminants.

3. Démontrer que lorsque m (alias β) décrit [-0.5; 0.5] N décrit la courbe C définie par f(x)=x-2√x+1

il suffit de remplacer x de f(x) par l'abscisse de N trouvée question précédente et de voir si ça donne bien l'ordonnée de N
ça prouve que tout point N est bien sur la courbe
pour achever il faut vérifier que toute les abscisses de [0; 1] peuvent être obtenues par un point N avec m ∈ [-0.5; +0.5]

4.demontrer que la droite D est tangente en N à la courbe C
calculer le coefficient directeur de la tangente en N (d'abscisse connue en fonction de m = question 2) et vérifier que c'est celui de D
(inutile d'obtenir l'équation complète de la tangente, l'égalité des coefficient directeurs suffit puisque on sait que ces deux droites passent par N, "par définition")

pour xN = 0 bien entendu la dérivé n'a pas de sens (f(x) n'est pas dérivable en 0)
on peut passer à la limite pour s'assurer que ces deux droites sont alors en fait verticales.

Posté par
Mounkaila144
re : Tracé la courbe d'une fonction 18-05-19 à 22:33

mathafou @ 18-05-2019 à 21:24


3. Démontrer que lorsque m (alias β) décrit [-0.5; 0.5] N décrit la courbe C définie par f(x)=x-2√x+1

pour achever il faut vérifier que toute les abscisses de [0; 1] peuvent être obtenues par un point N avec m ∈ [-0.5; +0.5]


J'ai pas du tout compris ça

Posté par
mathafou Moderateur
re : Tracé la courbe d'une fonction 18-05-19 à 22:58


ton écriture initiale "N décrit [-0.5; +0.5]" de toute façon ne veut rigoureusement rien dire du tout car N est un point et pas une valeur qui serait susceptible de parcourir un intervalle de valeurs [-0.5; + 0.5]
la valeur qui varie c'est m, alias β dans l'énoncé d'origine, on a écrit ici partout m parce que c'est plus facile à écrire que β

et on te dit "décrit la courbe" ça ne veut pas dire décrit un morceau de la courbe.
donc il faut bien montrer que quand m décrit l'intervalle [-0.5; +0.5], le point N parcourt toute la courbe définie par f(x) avec x ∈ ]0; 1[ (énoncé de la définition de la courbe C dès le début de l'exo, et pour tout l'exo entier)

donc la démonstration comporte deux phases distinctes

• que pour toute valeur de m , le point N est sur la courbe (mais peut être seulement un morceau seulement de cette courbe)

• que que pour toute position d'un point de la courbe, il existe au moins une valeur de m telle que N soit en ce point là
et les abscisses suffisent pour dire ça car f(x) est une fonction, tout point de la courbe est suffisamment défini par sa seule abscisse, son ordonnée étant alors "automatiquement" f(x)



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