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Transformation du plan

Posté par
Lyy 28-12-23 à 20:36

Bonsoir,
J'ai une question sur un exo:
Soit f la transformation du plan définie par:
\left\{ \begin{array}{l} x'= x-y-2  &\\ y'=x+y+2 \\ \end{array} \right.
a) Déterminer les points fixes de cette transformation.
b)Déterminer l'image de la droite d: 3x-y+4=0.
c) Montrer que l'image du cercle de Centre O(0,0) et de rayon 2 est un cercle de centre A(-2;2). Préciser le rayon du cercle-image.
d) Quelle est la nature de cette transformation ?



SOLUTION:
a) J'ai trouvé le point (-2,-2).  En calculant:
\left\{ \begin{array}{l} x= x-y-2  &\\ y=x+y+2 \\ \end{array} \right.

b) J'ai cherche l'équation paramétrique de d:
\left\{ \begin{array}{l} x=t&\\ y=3t+4 \\ \end{array} \right.
Puis j'ai insserez ce x et y dans le système:
\left\{ \begin{array}{l} x'= x-y-2  &\\ y'=x+y+2 \\ \end{array} \right.
J'ai trouvez la droite d' d'équation paramètrique:
\left\{ \begin{array}{l} x'=-2t-6&\\ y'=4t+6 \\ \end{array} \right.

EST CE JUSTE ?

pour le c) je bloque car je ne sait pas comment remplacer dans le système de la transformation ?

Posté par
carpediemre : Transformation du plan 28-12-23 à 20:52

salut

on peut remarquer qu'une équation paramétrique de la droite d est \left\lbrace\begin{matrix}x=x \\ y = 3x + 4 \end{matrix}\right.

qui donne alors \left\lbrace\begin{matrix}x' = -2x - 6 \\ y' = 4x + 6 \end{matrix}\right.

il serait bien d'en donner une équation cartésienne ...

c/ tu peux déjà montrer que l'image de O est A

et comme tu as donné une équation paramétrique de la droite d tu peux aussi donner une équation paramétrique du cercle de rayon 2 : \left\lbrace\begin{matrix}x = 2 \cos t \\ y = 2 \sin t \end{matrix}\right.

tu peux alors remplacer et calculer ensuite (x' + 2)^2 + (y' - 2)^2 ...

Posté par
Lyyre : Transformation du plan 28-12-23 à 21:03

Merci j'ai bien eu:
(x'+2)^2+(y'-2)^2=(2\sqrt{2} )^2
Maintenant comment j'en déduit la nature de cette transformation ?

Posté par
carpediemre : Transformation du plan 28-12-23 à 21:05

d/ on peut remarquer que \left\lbrace\begin{matrix}x' = x - y - 2 \\ y' = x + y + 2 \end{matrix}\right. \iff \left\lbrace\begin{matrix}x' + 2 = (x - 2) - (y + 2) \\ y' - 2 = (x - 2) + (y + 2) \end{matrix}\right. \iff \left\lbrace\begin{matrix}X' = X - Y \\ Y' = X + Y \end{matrix}\right.

avec M'(X', Y') l'image du point M(X, Y) dans le repère (A, \vec i, \vec j) en sorte que l'origine de ce repère est le point invariant

Posté par
Lyyre : Transformation du plan 28-12-23 à 21:10

Ok, mais j'ai pas compris c'est quoi la nature de cette transformation alors ?

Posté par
Lyyre : Transformation du plan 28-12-23 à 23:21

Est ce que c'est une similtude directe de rapport \sqrt{2} et de centre (-2;-2) et d'angle \frac{\pi} {4}?

Posté par
carpediemre : Transformation du plan 29-12-23 à 00:39

il semblerait bien ...

Posté par
lakere : Transformation du plan 29-12-23 à 00:58

Bonsoir,
Je me me permets d'intervenir; pour d) pourquoi ne pas passer par les complexes ?
En posant z=x+iy et z'=x'+iy', on a :

  z'=(1+i)z-2+2i (facile à prouver)

C'est l'écriture complexe d'une similitude directe.
Son centre est le point fixe dont l'affixe est solution de l'équation z'=z
Son rapport est |1+i| et son angle est arg(1+i)\;\;[2\pi]
Il se peut que ce ne soit pas dans l'esprit de l'exercice mais ça a le mérite de couper court à tout le reste

Posté par
Lyyre : Transformation du plan 30-12-23 à 16:17

Merci beaucoup !

Posté par
carpediemre : Transformation du plan 30-12-23 à 18:11

de rien


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