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transformations. pb dans l'espace
bonsoir ! j'ai un ptit exercice sur les homothéties mais je ne sais pas comment partir ;
les hyp : tétraèdre ABCD, I milieu [CD] et M point de (AI)
le plan parallèle à (ABC), passant par M coupe (CD) en N. le plan parallèle à (ABD) passant par M coupe (CD) en P.
voila La question : démontrer que I est le milieu de [NP], en utilisant une homothétie de centre I...
quelqu'un pourrait-il m'aider à voir plus clair ?
Bonsoir Southward,
Belle figure, merci. Et avec cette figure, tu as presque tout écrit.
Pour la démonstration, il suffit de s'intéresser uniquement à la face ACD, dans laquelle les deux triangles AIC et MIN sont semblables (côtés 2 à 2 parallèles et angles égaux), de même que les deux triangles AID et MIP.
De ces similitudes (ou bien en utilisant Thalès), on tire que AI/MI = CI/NI et que AI/MI = ID/IP.
Ce qui permet de déduire directement que IA/IM = IC/IN = ID/IP = cste
Conclusion : le triangle MNP est le transformé du triangle ACD par l'homothétie de centre I et de rapport MI/AI.
deux manières de faire :
- Soit tu reviens à l'égalité établi précédemment : IC/IN = ID/IP qui est équivalent à IP/IN = ID/IC.
Or I milieu de [CD], donc ID/IC = 1.
Par conséquent IP/IN = 1, donc I milieu de [NP].
- Soit en rappelant que l'homothétie est une similitude, et que les similitudes conservent le rapport des distances, et puisque I milieu de [CD], [NP] le transformé de [CD], alors I est milieu de [NP].
...
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