Bonsoir polux,

Tu commences par considérer que le système (Ox ; Oy) est le repère du plan.

Dans ce repère tu exprimes ensuite les coordonnées de chaque point, avec les conventions suivantes :
A (a ; 0) et B (a + b ; 0) et M (0 ; y)

Il te reste à calculer N, P, Q...

Ensuite tu détermines le vecteur PQ...
Pour constater que les coordonnées de PQ ne dépendent que de la valeur b...

...

salut  polux ... c'est un problème interresant

Il s'agit de démontrer que le vecteur PQ ne dépend pas de M
Autrement dit si on choisit un point M' qq sur [Oy) et si on construit le point N' sur [Oy) de sorte que M'N' = AB = MN et O,M',N' alignés dans cet ordre alors en notant P' le milieu de [AM'] et Q' celui de [BN'], les vecteurs PQ et P'Q' sont égaux ... (je te conseille de faire un dessin)

Montrons que PQ = P'Q' (en vecteurs)
Cela revient à montrer que PP' = QQ' (en vecteurs)

On va appliquer le théorème de la droite des milieux dans le triangle:
AMM' : PP' = 1/2 MM'  (en vecteurs)
BNN' : QQ' = 1/2 NN'  (en vecteurs)

D'autre part puisque MN = M'N' et que les points O,M,N et O,M',N' alignés dans le meme ordre sur une meme droite on a : MN = M'N' donc MM' = NN' (en vecteurs)

D'où PP' = QQ'  cqfd ...

Conclusion :
Le vecteur PQ ne dépend pas du point M ...

J'espere que c'est clair ...  

Salut!
alors j'ai peut-être trouvé quelque chose, je ne sais pas
Il ne suffit pas juste de dire que :
Q tel que vecteur PQ=vecteur PA + vecteur AB + 1/2 vecteur BN
mais je ne suis pas sûre du tout car PA = 1/2 MA
mais d'un autre côté on a AB=MN donc quelque soit les positions relatives de A et M on obtient toujours la même chose
Je ne sais pas si cela va vous aider.
Bonne soirée

Merci beaucoup pour votre aide à tous, cela m'a bien aidé
Merci encore