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Treize
Bonjour
ABC8 et 8CBA sont multiples de 13 (base 10).
Déterminer ces nombres
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...bon apres avoir cherché plus serieusement , avec les congruences on peut arriver à ceci
avec N = abc8
8.100=8.100[13]
c.101=c.101[13]
b.102=9.b[13]
a.103=12.a[13]
en additionnant les membres de gauche puis de droite il vient
N = 8+10c+9b+12a [13] mais il faut que 8+10c+9b+12a =0[13]
soit 10c+9b+12a = 5[13]
meme raisonnement pour N'=8cba et on arrive à
N'=a + 10b +9c + 5 [13] et il faut que a + 10b +9c + 5=0 [13]
on a donc deux équations
10c+9b+12a = 5[13]
a + 10b +9c + 5=0 [13]
en multipliant la seconde par 12 il vient
10c+9b+12a = 5[13]
12a + 120b +108c =5 [13] et par soustraction membre à membre il vient
111b + 98c = 0[13] soit 111b + 98c - 13k = 0 ( une équation diophantienne à 3 inconnues)
111 = 7[13] donc 111b = 7b[13]
98 = 7[13] donc 98c = 7c[13]
13=0[13] donc 13k = 0[13]
par ajout membre à membre il reste 111b + 98c -13k = 7(b+c)[13]
or 111b + 98c -13k = 0 il reste donc
7.(b+c) = 13.k
7 et 13 etant premiers on a immediatement b+c = 13.p et k=7p
b et c etant au maximum = à 18 p ne peut exceder comme valeur 1 donc p = 1
et au final on a b+c = 13 qui donne comme solutions pour b et c
b c a
6 7 2
7 6 1
9 4 ne convient pas
4 9 ne convient pas
8 5 ne convient pas
5 8 ne convient pas
Bonsoir flight
Plus concis:
A,B,C<10
Si N= ABC8 et N' = 8CBA, alors
N
A+4B+3C-80 [13] (1)
N' 8+4C+3B-A0 [13] (2)
(1) +(2) 7(B+C)=13k
B+C = 13 .(3)
On remplace C par 13-B et (1) A+B8 [13]donc A+B =8(4)
Ce qui donne B = 6, C=7 et A = 2 soit 2678
ou B =7 , C =6 et A = 1 soit 1768
On peut étudier ABCD0 [13]
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