Bonjour,
Incomplet :

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Les triangles équilatéraux

Bonsoir

Problème intéressant !

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Par symétrie on peut supposer :


avec


avec


on a alors et donc


ainsi est constante si et seulement si


ce qui s'écrit aussi


il n'est alors pas très difficile de voir que et par suite _{sauf erreur de ma part bien entendu}

Bonsoir

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Posons

Pour x=2, le théorème de la médiane nous dit que
donc si constante il y a ce ne peut être que celle-là.

resterait  à montrer que c'est une caractéristique des triangles équilatéraux

erreur de plume

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Je voulais bien entendu écrire

Effectivement

Bonjour,

merci pour ce problème original.

elhor_abdelali a bien avancé dans la résolution du problème mais il n'a pas vu qu'il y avait plusieurs cas à examiner avant de conclure.

J'ai trouvé une CNS très simple sur a,b,c :

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sont en progression arithmétique.

Quand c'est équivalent à .

Cette condition impose

Effectivement jandri ma conclusion est précipitée

Je m'explique

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En notant , l'identité

donne le système qui est équivalent à

(Pour obtenir la troisième équation on dérive l'identité de l'encadré rouge puis on fait tendre vers )

et ainsi les trois réels , et et les trois réels , et sont les trois solutions d'une même équation du troisième degré

et comme on a on conclut que ...

Cette fois je suis d'accord.

J'ai une démonstration plus rapide une fois qu'on a trouvé la seule valeur possible pour la constante :

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entraine que quand
car et

On en déduit

Oui jandri c'est effectivement plus rapide

_{Bien vu pour l'unique triangle rectangle !}

Un unique triangle plat (à homothétie près) rendant la fonction constante.

On peut penser à caractériser les triangles du plan rendant la fonction constante

par leur classe de similitude :

En effet en munissant le plan d'un repère orthonormé direct ,

tout triangle du plan rendant constante est semblable à un unique triangle

où le point décrit la courbe polaire d'équation :

avec .

Bonsoir,
Je propose un peu plus simple avec un arc de cercle :

En pointillés, des rectangles particuliers : équilatéral, rectangle et plat.
Si on ne suppose plus a b c, on peut utiliser le cercle en entier

Une autre manière de caractériser ces triangles :

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Une des trois médianes a pour longueur , où est la longueur du côté qui contient le milieu.

Bonjour
Petite aparté ...
Le tr rect 1,V3,2 par exemple (et bien d'autres) remplit toutes les conditions non ?

@derny

tu as du faire une erreur, c'est le triangle rectangle qui convient

Ce tr convient bien sûr mais il me semble que d'autres conviennent.

Les triangles rectangles qui conviennent sont exactement les triangles .

Bonsoir
Je sais bien que les triangles a,aV2,aV3 conviennent. Mais il doit y avoir un trou dans les démonstrations ci-dessus car je trouve plein d'autres triangles qui répondent à la question. As-tu seulement testé le triangle que j'indique ? Je pense que non.

Bonjour,
@derny,
Ton triangle donne f(2) = 2/3 , comme tous les triangles.
Mais f(1) n'est pas égal à 2/3 ...

Merci Sylvieg
j'avais fait rapidement f(2) et f(4)

Il ne te reste plus qu'à poster le problème suivant :
Caractériser les triangles pour lesquels f(4) = f(2)

Bonjour
Oui mais ce n'était pas évident intuitivement

Bien vu Sylvieg, je ne l'avais pas remarqué.

C'est la troisième remarque pertinente que tu fais pour cet exercice.