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triangle/côtés/médianes/fonction

Posté par
alb12
23-02-23 à 20:10

Salut,


 \\ \large
 \\ $Soit $ABC$ un triangle.$
 \\ $Soit $a,b,c$ les longueurs des côtés.$
 \\ $Soit $u,v,w$ les longueurs des médianes.$
 \\ $Soit $f$ la fonction définie sur $\R_*^+$ par $f(x)=\left(\dfrac{a^x+b^x+c^x}{u^x+v^x+w^x}\right)^\frac1x
 \\ $Caractériser les triangles $A,B,C$ pour lesquels la fonction $f$ est constante.$
 \\

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : triangle/côtés/médianes/fonction 23-02-23 à 20:56

Bonjour,
Incomplet :

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Posté par
elhor_abdelali Correcteur
re : triangle/côtés/médianes/fonction 23-02-23 à 23:10

Bonsoir

Problème intéressant !

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Posté par
larrech
re : triangle/côtés/médianes/fonction 23-02-23 à 23:17

Bonsoir

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Posté par
larrech
re : triangle/côtés/médianes/fonction 23-02-23 à 23:27

erreur de plume

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Posté par
alb12
re : triangle/côtés/médianes/fonction 24-02-23 à 10:09

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Posté par
Sylvieg Moderateur
re : triangle/côtés/médianes/fonction 24-02-23 à 11:09

Effectivement

Posté par
jandri Correcteur
re : triangle/côtés/médianes/fonction 24-02-23 à 11:09

Bonjour,

merci pour ce problème original.

elhor_abdelali a bien avancé dans la résolution du problème mais il n'a pas vu qu'il y avait plusieurs cas à examiner avant de conclure.

J'ai trouvé une CNS très simple sur a,b,c :

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Posté par
elhor_abdelali Correcteur
re : triangle/côtés/médianes/fonction 24-02-23 à 14:14

Effectivement jandri ma conclusion est précipitée

Posté par
elhor_abdelali Correcteur
re : triangle/côtés/médianes/fonction 24-02-23 à 16:59

Je m'explique

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Posté par
jandri Correcteur
re : triangle/côtés/médianes/fonction 24-02-23 à 17:22

Cette fois je suis d'accord.

J'ai une démonstration plus rapide une fois qu'on a trouvé la seule valeur possible pour la constante :

 Cliquez pour afficher

On peut remarquer qu'il y a un unique triangle rectangle qui rend f constante (à une homothétie près).

Posté par
elhor_abdelali Correcteur
re : triangle/côtés/médianes/fonction 24-02-23 à 18:09

Oui jandri c'est effectivement plus rapide

Bien vu pour l'unique triangle rectangle !

triangle/côtés/médianes/fonction

Posté par
elhor_abdelali Correcteur
re : triangle/côtés/médianes/fonction 24-02-23 à 21:24

Un unique triangle plat (à homothétie près) rendant la fonction f constante.

triangle/côtés/médianes/fonction

Posté par
elhor_abdelali Correcteur
re : triangle/côtés/médianes/fonction 25-02-23 à 14:13

On peut penser à caractériser les triangles ABC du plan rendant la fonction f constante

par leur classe de similitude :

En effet en munissant le plan d'un repère orthonormé direct \Large(B,\vec{BC},\vec{BD}),

tout triangle du plan rendant f constante est semblable à un unique triangle ABC

où le point A décrit la courbe polaire d'équation : \Large r=2\cos\theta+\sqrt{4\cos^2\theta-1}

avec \Large0\leqslant\theta\leqslant\frac{\pi}{3}.

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : triangle/côtés/médianes/fonction 26-02-23 à 18:00

Bonsoir,
Je propose un peu plus simple avec un arc de cercle :
triangle/côtés/médianes/fonction
En pointillés, des rectangles particuliers : équilatéral, rectangle et plat.
Si on ne suppose plus a b c, on peut utiliser le cercle en entier

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : triangle/côtés/médianes/fonction 26-02-23 à 18:48

Une autre manière de caractériser ces triangles :

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Posté par
derny
re : triangle/côtés/médianes/fonction 18-03-23 à 10:39

Bonjour
Petite aparté ...
Le tr rect 1,V3,2 par exemple (et bien d'autres) remplit toutes les conditions non ?

Posté par
jandri Correcteur
re : triangle/côtés/médianes/fonction 18-03-23 à 15:16

@derny

tu as du faire une erreur, c'est le triangle rectangle 1,\sqrt2,\sqrt3 qui convient

Posté par
derny
re : triangle/côtés/médianes/fonction 18-03-23 à 16:16

Ce tr convient bien sûr mais il me semble que d'autres conviennent.

Posté par
jandri Correcteur
re : triangle/côtés/médianes/fonction 18-03-23 à 16:50

Les triangles rectangles qui conviennent sont exactement les triangles (a,a\sqrt2,a\sqrt3).

Posté par
derny
re : triangle/côtés/médianes/fonction 18-03-23 à 23:17

Bonsoir
Je sais bien que les triangles a,aV2,aV3 conviennent. Mais il doit y avoir un trou dans les démonstrations ci-dessus car je trouve plein d'autres triangles qui répondent à la question. As-tu seulement testé le triangle que j'indique ? Je pense que non.

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : triangle/côtés/médianes/fonction 19-03-23 à 07:49

Bonjour,
@derny,
Ton triangle donne f(2) = 2/3 , comme tous les triangles.
Mais f(1) n'est pas égal à 2/3 ...

Posté par
derny
re : triangle/côtés/médianes/fonction 19-03-23 à 10:18

Merci Sylvieg
j'avais fait rapidement f(2) et f(4)

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : triangle/côtés/médianes/fonction 19-03-23 à 19:18

Il ne te reste plus qu'à poster le problème suivant :
Caractériser les triangles pour lesquels f(4) = f(2) \;

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : triangle/côtés/médianes/fonction 21-03-23 à 09:59

Citation :
je trouve plein d'autres triangles qui répondent à la question
Normal : tous les triangles vérifient f(4) = f(2)

Posté par
derny
re : triangle/côtés/médianes/fonction 21-03-23 à 10:44

Bonjour
Oui mais ce n'était pas évident intuitivement

Posté par
jandri Correcteur
re : triangle/côtés/médianes/fonction 21-03-23 à 11:31

Bien vu Sylvieg, je ne l'avais pas remarqué.

C'est la troisième remarque pertinente que tu fais pour cet exercice.



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