salut

une question pour éclairer ma lanterne :

dit juste au dessus :

Bonjour,
Cette étude a té réalisée assez complètement i y a environ 12 ans,
j'essaye de retrouver.

certes car c'est assez connu (voir le pdf cité par hekla dans la discussion initialement citée)

mais avec les constructions géométriques explicites ?
c'est le but de cette discussion-ci

et en ajoutant que les triangles avec un angle double de l'autre ne sont pas considérés comme "quelconques" ?

raisonnement faux
il existe bien un point équidistant des arcs et segments entourant la zone II, centre d'un cercle inscrit dans cette zone, c'est à dire tangent à sa frontière



et pas tangent à autre chose bien évidemment, la médiatrice de AB n'a rien à voir pour les points de la zone II.
elle sert pour ceux de la zone III
dans la zone II tous les points de cette zone sont plus loin des autres lignes que de sa frontière, donc seule sa frontière compte pour maximiser les plus petites distances.

le document pdf cité parle de paraboles et de calculs donnant ce point.
ici je demande une construction effective à la règle et au compas.

Je crois me souvenir que le titre était:
Triangle quelconque "idéal"

yaka demander : Triangle quelconque " idéal"
il est dommage que le document de l'APMEP cité ne soit plus accessible à l'adresse indiquée

J'ai trouvé : 18-10-11 à 8:02
Avec une bonne réponse de Anthony
et une de référence de jandri

Tu a été plus rapide que moi.......

Bonjour

J'ai longtemps gardé le bulletin vert dans lequel ce problème était traité . Il est malheureusement parti à la benne accompagné d'une  multitude de documents et spécimens trop envahissants .

Imod

les triangles avec des rapports de côtés ou d'angles rationnels me semblent trop "particuliers" pour être qualifiés de "quelconques"
surtout le 45°, 60°, 75° !

Bonjour,

"la médiatrice de AB n'a rien à voir pour les points de la zone II.
elle sert pour ceux de la zone III "

On comprend comme on veut.

Le point entouré en bleu fait partie de la zone 2 ...  et est sur la médiatrice de [AB].
Donc le point C doit aussi avoir la distance avec ce point (le bleu) la même qu'avec les autres lignes rouges.

Mais on peut faire comme si ce n'était pas le cas.

la distance d'un point à une courbe ou droite est la plus petite distance de ce point à tous les points de la courbe.

bien comprendre ce que l'on cherche

on veut que le point C donne un triangle ABC le moins [quoi que ce soit] possible (le moins rectangle, le moins isocèle etc)
les courbes donnent les lieux pour qu'il soit exactement [quoi que ce soit] (rectangle ou isocèle)

on cherche donc un point C pour lequel la plus petite des distances à l'ensemble de toutes les courbes rouge soit la plus grande possible
le point entouré de bleu est plus éloigné de C que la plus courte distance (= le rayon du cercle inscrit) de ce point aux trois courbes frontières de la zone II, donc il ne compte pas
de même d'ailleurs que la distance de C à la médiatrice de AB, à AB, au demi cercle AB, et à la verticale en B

si on augmente la distance de C à une de ces frontières, au moins une autre des distances diminue et devient donc plus petite et donc la distance la plus petite diminuera et ne sera pas maximale.

de façon absolument générale, si on cherche un point P, dans un domaine limité par une "courbe" fermée (définie par morceaux ou pas), qui soit le plus loin possible de la frontière , ce sera le centre du plus grand disque que l'on peut inscrire dans cette zone.



au moins tri-tangent et sans autres intersection avec que les points de contact, en comptant pour au moins doubles les points où le rayon de courbure de est égal à celui du cercle (cercle osculateur)

certes mais je n'avais pas parlé de calculer ce point, mais de le construire (à la règle et au compas)

Rebonjour,

Même méthode que ma réponse précédente ...

Et pour la zone III on a :

Construction possible zone II

On trace une droite issue de A (en bleu)
On y trace 6 segments égaux (au compas)
On joint le bout du 6ème segment à B
On trace des // (en rouge) à  la droite ci dessus passant par les extrémités de segment de la droite bleue.
On trace la perpendiculaire à AB passant par le 1er sixième de [AB] (en vert)
On trace le cercle de centre A et de rayon 5/6 AB (en mauve)
"C "est à l'intersection de la droite en vert et du cercle en mauve.

c'est bien ce que je dis : il s'agit d'une construction (artificielle) des nombres que l'on a calculés ...

et on peut résumer cela en disant simplement
je construis les points à 1/6 et 5/6 de [AB] etc

le coup des parallèles et de Thalès pour le faire étant "classique", inutile de les détailler, de même que inutile de détailler comment on fait pour tracer des parallèles etc !

ce qui n'a aucun rapport directement géométrique (juste le résultat d'un calcul algébrique) avec le fait que ce soit un centre de cercle tangent à des cercles etc...

exemple de construction significative dans la région I :
un tel cercle étant "coincé" entre deux droites parallèles il a pour diamètre leur distance, et son centre est sur la médiatrice de AM

étant tangent au cercle rouge de centre A, son centre est sur un cercle de même centre A et de rayon augmenté du AN



nota : dans la région I infinie, tous les points au dessus de ce point là sur la médiatrice de AM sont solution.

on demande donc une construction dans les autres régions de ce style là :
construire des truc parce que le cercle tangent
(= sans faire aucun calcul algébrique ni d'équations que ce soit)

Bonjour,

J'ai montré comment construire sans aucun calcul ni équation le centre du cercle dans la région I
Pour les régions II et III je vais poursuivre dans la même veine.

pour cela je vais faire appel à une transformation géométrique "oubliée" de nos jours : l'inversion
petit "rappel" :
l'inversion est la transformation qui étant donné un point fixe O et une constante k transforme tout point M différent de O en le point M' sur (OM) avec OM.OM' = k
si k est positif k = R² et tous les points à distance R de O sont invariant, et forment le "cercle d'inversion" invariant
une inversion transforme une droite passant par O en cette même droite (globalement invariante)
un cercle de centre I passant par O en une droite perpendiculaire à OI et réciproquement
et un cercle (ne passant pas par O) en un cercle
elle transforme deux courbes tangentes en T en deux courbes tangentes en l'image de T
c'est une transformation réciproque (l'inverse de l'inverse d'une figure est la figure de départ)

on va utiliser ces propriétés pour transformer notre figure en une figure plus simple.



considérons l'inversion de centre A qui garde invariant le cercle (A), de centre A par B
cette inversion transforme la droite Ay en elle même, le cercle de centre B passant par A en une droite passant par I invariant donc en My et le cercle cherché en un cercle tangent à Ay, à My et au cercle (A)

on a ainsi transformé le problème en chercher ce cercle là, plus simple (deux droites et un cercle au lieu de deux cercles et une droite) et même déja résolu puisque c'est celui de la région 1 !

il suffit donc juste de transformer ce cercle (J) là par l'inversion pour obtenir instantanément le cercle cherché.

on construit les points de contact du cercle cherché à la règle seule comme images des points de contacts du cercle (J), sur les droites joignant A à ces points.
U est invariant : le cercle cherché à même point de contact avec (A) que le cercle de la région I
L se transforme en U, intersection de AL et du cercle (B)
le centre C est sur la droite AJ et sur la droite BU

on peut opérer de même pour le cercle de la région III en deux coups de cuillère à pot...
à vous de jouer. (choisir la bonne inversion qui va transformer le problème en quelque chose de plus simple , voire même déja connu)

Bonjour à tous,
pour ceux qui voudraient accéder aux bulletins de l'APMEP :
Bulletin vert 347 :

Bulletin vert 351 :

..en espérant que je n'enfonce pas une porte ouverte...

merci de les avoir retrouvés, les liens précédemment donnés par jandri étaient cassés

Bonjour,

pour terminer cet exercice de construction (pas de calculs ...)
la cas de la zone III :

la même inversion de pôle A qui conserve le cercle (A) inchangé transforme le cercle de diamètre AB en la perpendiculaire en B
et le cercle (B) en la perpendiculaire en M (médiatrice de AB)



l'image du cercle cherché est alors le symétrique du cercle déja construit pour la zone I par rapport à la médiatrice de AB
ceci prouve que les cercles des régions II et III ont le même point de contact U avec le cercle (B)
et le reste se construit à la règle.
(C = intersection de BU et de AC' etc)

Bonjour,
Au vu de ces études,j'ai fait Monsieur Jourdain (comme souvent ..)
en posant mon sujet en octobre 2011

les nombreuses études là dessus ne intéressent nullement à la construction de ces triangles mais à leur calcul.