1)

Soit H la projection orthogonale de E sur AC.

Dans le triangle ABC, EH est // à AB (puisque toutes les 2 perpendiculaires
à AC)
Comme EH est // à AB et passe par le milieu de BC, EH passe par le milieu
de AC.

Donc AH = HC  (1)
angle(AHE) = angle(EHC) = 90°  (2)

(1) et (2) et le fait que les triangles AEH et CEH ont le coté EH en
commun -> les triangles AEH et CEH sont isométriques.
-> AE = EC
Et comme EC = BC/2 = 8/2 = 4 cm, on a : AE = 4 cm
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2)
AB = BC.cos(40°) = 8*0,7660... = 6,1 cm à moins de 1 mm prés.
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3)
AC = BC.sin(40°) = 8*0,6427... = 5,1 cm à moins de 1 mm prés.
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4)
Dans le triangle BFC, AE est // à FC et passe par le milieu de BC, AE
passe donc aussi par le milieu du 3ème coté BF de BFC.
On a donc AB = AF. A est le milieu de BF.
Comme l'angle BAC = 90° par hypothèse, AC est perpendiculaire à BF
en son milieu A.
AC est donc la médiatrice de [BF]
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5)
Aire(BFC) = (1/2).BF.AC = (1/2).2AB.AC = AB.AC
Aire(BFC) est donc égale à 2 fois l'aire(ABC)
Comme on a calculé AB et AC -> Aire(BFC) = 6,1 * 5,1 = 31,11 cm² (à le
précision imposée par l'arrondi sur AB et AC).
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Sauf distraction.