Triangle rectangle

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Triangle rectangle
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Bahia2112  22-09-13 à 14:54
Bonjour,

voici l'énoncé :

Dans un triangle ABC on a entre les angles la relation :

sinA= (sinB+sinC)/(cosB+cosC)

que peut on dire de ce triangle ?

j'ai écris : 

sinA=(2sin((B+C)/2))cos((B-C)/2))/(2cos((B+C)/2)cos((B-C)/2

sinA=tan((B+C)/2)=tan((Pi-A)/2)

mais la je coince, je pense qu'il faut démontrer que le triangle est rectangle...

pouvez vous m'aider ? merci
 Posté par 
Bahia2112re : Triangle rectangle  22-09-13 à 15:09
sinA=tan((B+C)/2)

or A = PI-B+C

d'où sin(B+C)=tan((B+C)/2)=sinA

donc sinA=sin(B+C)

A=B+C

donc le triangle est rectangle en A

est ce que j'ai le droit d'écrire ça ?
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Nicolas_75 re : Triangle rectangle  22-09-13 à 15:25
Bonjour,

"donc sinA=sin(B+C)"

En fait, on le sait depuis le début, puisque la somme de A et (B+C) sont supplémentaires. 

"sinA=sin(B+C) donc A=B+C"

Non.

On déduit de la première égalité : "A = B+C ou A = pi-(B+C)" mais la seconde assertion après le "ou" est toujours vraie.

Je reviens dans quelques minutes...
 Posté par 
Nicolas_75 re : Triangle rectangle  22-09-13 à 15:26
Pardon : enlever "la somme de" dans la 3ème ligne de mon message.
 Posté par 
Bahia2112re : Triangle rectangle  22-09-13 à 15:33
c'est pas très clair

sinA=sin(B+C)

donc A = B+C+2kpi

ou A= pi-(B+C)+2kpi

c'est à partir de ça que je dis que le triangle est rectangle ?
 Posté par 
Nicolas_75 re : Triangle rectangle  22-09-13 à 15:36
Non, car tu ne peux pas conclure.

Tu trouves :

A = B+C+2kpi

ou

A = pi-(B+C)+2kpi 

Mais la seconde assertion est vraie pour tout triangle. Elle signifie simplement que la somme des angles vaut pi.

Donc on ne peut rien déduire de ce "ou", toujours vrai.

Nicolas
 Posté par 
Bahia2112re : Triangle rectangle  22-09-13 à 15:37
donc la première égalité suffit pour démontrer que le triangle est rectangle ?
 Posté par 
Nicolas_75 re : Triangle rectangle  22-09-13 à 15:45
Oui, mais tu n'as malheureusement pas obtenu la première égalité.

Tu as obtenu la première égalité ou qqc de toujours vrai.

C'est comme si tu avais obtenu "donc 1=1".

On ne peut rien en déduire. 
 Posté par 
Bahia2112re : Triangle rectangle  22-09-13 à 15:48
comment je dois faire alors ?
 Posté par 
Nicolas_75 re : Triangle rectangle  22-09-13 à 15:55
Une méthode...

On sait que 

Une première conclusion : 

Donc  et 

La première assertion revient à dire que A n'est pas un angle nul. La seconde est tout le temps vrai si les 3 angles sont aigus. Sauf erreur.

Repartons de 

Puisque A et B+C sont supplémentaires :

On transforme le membre de gauche avec les formules connues:

Multiplions les deux membres par  :

Développons le membre de gauche :

Donc  ou 

La première assertion est, sauf erreur, impossible avec un triangle normal.

Reste  et la conclusion

Nicolas
 Posté par 
Bahia2112re : Triangle rectangle  22-09-13 à 16:00
Merci beaucoup, c'est très clair 
  Posté par 
Nicolas_75 re : Triangle rectangle  22-09-13 à 16:01
Je t'en prie.

(Et vérifie bien que je n'ai pas fait d'erreur de calcul ou de raisonnement  )